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Celles-ci sont exprimables en .v et y sous forme rationnelle, 

 et ne contiennent pas y en dénominaleur , puisque si on ieur 

 ajoute respectivement y, y^, y^,. . . . on obtient les polynômes 



y -*- y. -*- y2 -*- — y ^-, 

 y' -t- Vi-^y^^^ — yV-i 

 y' -t- y." -+- y/ -^ — /A-. 



dont les valeurs sont fonctions rationnelles de .r seul. 

 Donc on peut poser 



<:^{x,y) — F{x,y^) ¥{x,y^ F(j7,y^_i) , 



et <^{a:,y) sera une fonction rationnelle de x et y, entière par rap- 

 port à y. 



En midtipliant par le facteur C|)(.r,y), ainsi obtenu, les deux 



termes de la fraction — '- — , équivalente kfydx, cette intégrale 



se trouvera exprimée par une fonction dans le dénominateur de 

 laquelle y aura disparu : cette fonction sera de la forme 



fydx = a- + /3y -♦- -t- yy~ -H etc. , 



oc, /S , 7, ... . désignant des quantités rationnelles en x. 

 D'ailleurs, en vertu de l'équation (a), qui donne 



yf^ — Ly"-' -t- .... -H My -f- N, 



on peut éliminer du second membre toutes les puissances de y 



