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Si les équations (e) n'ont pas d'intôgrales rationnelles , l'impossi- 

 bilité d'exprimer^yf/j:' algébriquement sera démontrée; et dans le 

 cas contraire , la métbode qui sert à calculer a.-, j2>, y , ....A, 

 fournira aussi la valeur de fydx. 



Ainsi est démontré , dans toute son étendue, le théorème général 

 qui tait l'objet de ce mémoire. Le procédé dont on vient de se 

 servir n'exige nulle part qu'on sache trouver les racines incom- 

 mensui'ables des équations numériques : l'opération la plus com- 

 pliquée qu'il nécessite est la division algébrique. Ce même pro- 

 cédé s'applique à diverses questions sur lesquelles nous reviendrons 

 ailleurs. 



[26] En effet, la théorie exposée dans la section première, 

 pour la détermination des intégrales rationnelles d'une équation 

 linéaire , me paraît devoir être d'une grande utilité en analyse ; et 

 je ne puis m'empécher d'en rapporter ici une application très- 

 simple, à laquelle un passage de M. Lacroix (*) m'a donné lieu de 

 penser. 



" Il y a encore, dit M. Lacroi.v, un autre moyen d'intégier une 



« fonction exponentielle, telle par exemple que — '■ — - ; c'est de 



« chercher à la rapporter à la différentielle de la fonction e'P, qui 

 « est e'i^dP -i-Vdx), et dans laquelle P représente une fonction 

 « algébrique de x. C'est principalement la sagacité et l'habitude du 



qu'il y a réeilement autant d'cquatinns que d'inconnues , comme l'exige notre métbode. J'ai 

 montré aussi comment l'on en déduit immédiatement , en les généralisant , les résultats 

 contenus dans mon premier mémoire. II ne sera pas inutile d'obserTer ici que l'inconnne a. 

 entre dans la première des équations (c) seulement, et n'y entre que par la diflférentielle 



da. ...... 



: quand on aura déterminé les valeurs rationnelles de /S, ^, .... A, on calculera 



dx 



donc ensuite celle de *, par la simple intégration d'une fraction rationnelle. Cette i-e- 

 marqu^servîra à simplifier quelquefois le calcul. Elle démontre en outre , sans qu'il soit 

 nécessaire d'insister là-dessus, que l'emploi des équations (e) fournirait la \aie\a Ae Jijdx , 

 lors même que cette valeur ctjntiendrait des logaritbmes, si les signes logarithmiques ne 

 portaient que sur des fonctions rationnelles de x. 



■ \i(fi) Traité'/lit calcul différentiel et du calcul intégral, tome II , page 94. 



