150 INTEGRALES 



Pe', P étant algébrique ; ou pius généralement toutes les fois que 

 é'ydx sera la difTérentieHe d'une fonction i:ajgébrique inconnue 

 de X et e'. Par une série de raisonnements à peu près semblables 

 à ceux du n° 2 2 et du n" 23, on démontrera que si l'intégrale 

 fé'ijdx est exprimable algébriquement en fonction de x et e", la 

 valeur de cette intégrale doit être de la forme 



fe^ydx = e'^ ( et -+- /3y ■+■ yif -i- .... -h X.yl^~^ ) -+- constante ; 



^./S.y, ••••A, étant des fonctions rationnelles de j?, et //t. in- 

 diquant le degré de l'équation irréductible dont y est la racine. On 

 déterminera ensuite les jx inconnues et, /3, y, .... A, par un 

 nombre égal d'équations, qu'on obtiendra comme on a obtenu 

 celles du n° 26 ('). 



[27] Enfin la méthode exposée dans ce mémoire sert quelque- 

 fois à démontrer I impossibilité de satisfaire par aucune intégrale 

 particulière algébrique , à une équation de la forme 



A) P — - ^ Q + + R -^ ^- Sy = T, 



^ dxi^ dxf^-^ dx 



les coefficients P, Q, . . . . R, S, T, étant des fonctions ration- 

 nelles de X , et T n'étant pas = 0. Il existe à ce sujet un théorème 

 dont je me contenterai d'écrire féuoncé : pour que l'équation (A) 



(') Par des considérations qui me sont propres je snis parvenu à de'montrer en rigueur 

 ïe théorème que voici: Toutes les fois que rùitégrale Je^ydx peut être obtenue à l'aide 

 d'un nombre limité quelconque d'opérations algébriques , exponentielles , logarithmiques et 

 circulaires , la valeur de cette intégrale est nécessairement équivalente ii une certaine fonc- 

 tion algébrique des et e^ ; en sorte qu'il est permis de poser Je-^ydx ■^e^{<:L-\-{iy-\~yi/~-\- . . 



. . .~i~\y' ) -h constante, et, (h, etc., étant des fonctions rationnelles de x. Si l'on 



ajoute à ce théorème le peu de mots que j'ai dits dans le texte , on en verra naître une 

 me'thode exacte pour trouver Tintegrale /e-^J/r/x , lorscju'elle est exprimable sous forme finie , 

 en employant seulement les signes mathématiques usités dans les éléments, on du moins 

 pour en démontrer l'impossibilité sous la forme citée. On prouve par exemple de cette 



... „. , e"^ 

 manière l'impossibilité de 1 intégrale y , dont ies géomètres se sont beaucoup 



X 



occupés. 



