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On voit ainsi que ia règle de Roberval peut être appliquée 

 sans erreur à la parabole, lorsqu'on détermine ses points par leurs 

 distances au foyer et à la directrice, parce que les vitesses avec 

 lesquelles ces distances croissent sont égales. 



Si la distance des pointé de la courbe à un plan ou une droite 

 fixe n'était pas comptée sur une perpendiculaire à ce plan ou à 

 celte droite, mais parallèlement à une droite fixe quelconque, ce 

 cas se ramènerait facilement au précédent. En effet, l'accroisse- 

 ment de la perpendiculaire est la projection de l'accroissement de 

 la distance oblique sur la perpendiculaire; on obtient donc la vi- 

 tesse avec laquelle croit la perpendiculaire, en multipliant la vi- 

 tesse d'accroissement de la distance oblique par le sinus de l'angle 

 que fait sa direction avec le plan fixe. 



Au lieu de porter sur la perpendiculaire la projection de la 

 vitesse relative à l'oblique , on pourrait porter sur celle-ci la vi- 

 tesse qui s'y rapporte et mener par l'extrémité un pian parallèle 

 au plan fixe; ce plan se confondrait avec celui qu'on aurait obtenu 

 en considérant la vitesse relative à la perpendiculaire. 



Il résulte de là que la règle de Roberval est exacte toutes les 

 fois que les points sont déterminés par leurs distances à des plans 

 ou des droites fixes, et que ces distances sont comptées parallèle- 

 ment à CCS droites, ou aux intersections mutuelles de ces plans. 



Le principe sur lequel Roberval a fondé sa règle étafit incon- 

 testable-, puisqu'il n'est au fond qu'une identité, l'erreur de ce 

 géomètre tenait à une fausse décomposition de la vitesse du point 

 générateur, dans le sens des rayons vecteurs ou des lignes de 

 direction constante qui se coupent en ce point. H est facile de 

 calculer ces composantes, et l'on retrouvera les mêmes condi- 

 tions que ci-de.ssus pour l'exactitude de la construction de Ro- 

 berval. 



Considérons, par exemple, une courbe plane engendrée par 

 fintersection successive de deux droites dirigées vers des pôles 

 fixes. Soient r, r , les longueurs des deux rayons relatifs à un 

 point quelconque de la courbe, J^r, J^r, les accroissements infini- 



