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L'équation [s] peut être remplacée par les deux équations [e], 

 en y introduisant l'angle <p, variable, ainsi que p,p',jj", d'un terme 

 à l'autre de ia série [4]. Ces deux nouvelles équations de condition 

 permettent à'é]ïminerp,p',j)', du trinôme {pP -\-p'P' -i-p'V" j, et 

 de l'exprimer en P, P', P" et (p : en effet l'équation unique [3], 

 qui lie les trois coordonnées P, P', P", peut être remplacée parles 

 trois équations [7], en y introduisant trois constantes arbitraires 

 m, m', m", et ces équations [7] conduisent au système d'équa- 

 tions [s], et à trois formes de la valeur du trinôme [pP-t-p'P' -h-p'V") 

 exprimé en ô et <P; ces trois formes pourront être substituées suc- 

 cessivement dans l'équation [4], afin de trouver les relations qui 

 doivent lier 6, <p, A et B, pour que cette série [4] devienne sépa- 

 rément nulle pour P=:/^ P' = /, ou P"^ /, c'est-à-dire sur les trois 

 côtés du triangle.. 



La série u [4 J peut ainsi se mettre sous la forme [9]; <p, A etB, 

 varient seuls d'un terme à l'autre de cette série ; on peut regarder 

 A et B comme des fonctions de (sin<p) et (cos?'), et prendre 

 pour limites du sigma les angles <p= et (p = 27r; enfin ces limites 

 peuvent être rapprochées sans détruire la généralité de la série , 

 en remarquant que les lignes trigonométriques qui entrent dans 

 son terme général ne changent pas de valeurs absolues lorsqu'on 

 y change (p en (<p-t-7r), ce qui permettra de réunir deux termes en 

 un, et de prendre pour limites du sigma les angles ÇcizO et <p^7r. 

 D'après cela, la fonction u prend la forme [il], les coefficients F<p 

 eifii satisfaisant aux relations [l 0]. 



Il faut exprimer maintenant que w [l 1] devient identiquement 

 nul lorsque P= /. Pour cela il convient de transformer encore le 

 terme général ; cette transformation résulte du système d'équa- 

 tions [12], dans lequel on fait usage de la relation [3], et où l'on 

 représente par Q une fonction de P etP" indépendante de l'angle ip; 

 la fonction u est alors amenée à la forme [l 3] , et conduit à l'équa- 

 tion [1 4] lorsque P = /. 



Dans la série qui compose le second membre de cette équation , 

 les lignes trigonométriques de l'angle dont Q est facteur, et qui 



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