DES OBSERVATIONS. 53 5 



petits coefficients. li n'y a d'exception que pour les puissances 

 paires dont l'intégration conduit à 



2m— 1 2m— 3 3 1 ra ^ , 2m — 1 3 1 / 



2 2 i %J a.' •' 2 22'' 



quand les limites cl et a. sont de signes contraires et toujours 

 considérables. 



Mais la relation (34), ou ?/ — -^ (sA^ ^), fait voir que ij 



est constamment de l'ordre très-élevé Y~ , quel que soit u ou t. 

 H ne pourra donc rester dans ia série S" que les termes dans 

 lesquels y a des exposants pairs et des limites de signes différents. 

 H n'est pas inutile de faire remarquer, d'ailleurs, que les puis- 

 sances impaires de y ou de ^ disparaissent d'elles-mêmes quand 

 l'intégrale double est prise entre deux valeurs égales et de signes 

 contraires de y et de t. Or c'est une propriété de la fonction dé- 

 signée par y, d'avoir deux limites très-élevées , le plus souvent de 

 signes contraires pour une valeur de t, et changeant de signe avec 

 t. De sorte que dans l'hypothèse oîi c' =: — c, il ne reste de la 

 série que les termes dans lesquels y ci t ont à la fois des expo- 

 sants pairs. Il ne subsiste ainsi aucun terme de la troisième puis- 

 sauce, et les termes de la quatrième ont des coefficients de l'ordre 

 tres-petit — • 



La série S " se trouve donc réduite par f intégration de y à deux 

 jjarties : l'une , dont tout ce qui précède explique fa convergence 

 excessive pendant un grand nombre de termes , peut être regardée 

 comme nulle dès forigine, quel que soit t. L'autre partie se com- 

 pose d'abord de puissances de t qui n'ont , par elles-mêmes , que 

 de très-petits coefficients de l'ordre de - et ses puissances , mais 

 qui sont multipliés par des facteurs de la forme 



2m- 



3 1 /-- 



et peuvent par cette raison acquérir quelque valeur. 



