AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. 565 



3 , 4, 5 ; et A„, étant une fonction de m qui doit être telle que, 



pour toutes les valeurs de x comprises entfe et tt, on ait : 



(D) I^A„msinmx-\-f(x)1!iA„sïamx = F(^) ; 



pour obtenir la valeur de A„ et par suite la valeur de ii, il est 

 donc nécessaire de savoir résoudre les équations de la forme 

 (D). 



Considérons actuellement l'état permanent de la chaleur dans 

 un cercle dont le contour rayonne dans un milieu de température 

 donnée; et nous tomberons de nouveau sur une équation sem- 

 blable aux précédentes , quoiqu'un peu plus générale. En effet , 

 soit u la température fixe d'un point quelconque M du cercle : 

 désignons par r le rayon vecteur OM mené du point M au centre 

 O, et par x l'angle que ce rayon vecteur forme avec une droite 

 OX invariable. L'équation indéfinie du mouvement permanent de 

 la chaleur dans un plan pouvant, comme on le sait, être mise 

 sous la forme : 



d-u 1 du 1 oPw 



ar- r ar J- dx~ 



il s'agira d'abord d'intégrer cette équation. Or, si l'on effectue 

 cette intégration , en ayant égard à ces deux circonstances particu- 

 lières à notre problème, 1° que la valeur de u ne devienne pas 

 infinie, quand on y fait r zr o ; 2° que cette valeur reste la même 

 quand on y change .r en j7-t-27r, on trouvera pour l'expression 

 générale de u : 



u = Sr'"(A„cosffî.r-l-B,„sinff2j;), 



m désignant un nombre entier quelconque , y compris zéro ; et 

 A„ , B„ des fonctions inconnues de m. Il reste encore à satisfaire à 

 l'équation relative à la surface, laquelle, en prenant pour unité 

 le rayon du cercle, est de la forme : 



f( —-^h{u — (^ zr 0, pour r zz 1, de x = — vr à x ^ 'tc , 



k et h désignant la conducibilité intérieure et le pouvoir rayon- 



