AUX ÛIFFÉRENCES PARTIELLES. 667 



les valeurs depuis j: rr jusqu'à x zzi -. Cela posé , notre pro- 

 blème peut s'énoncer de la manière suivante. 



PROBLÈME. 



On demande de trouver la valeur de A„, qui satisfait à l'équa- 

 tion : 



(A) ^A„mcosinx-+-J'{j:)E,A„cosmj: = F(.r), 



pour toutes les valeurs de a: comprises entre les limites a' = o, 



T 

 X = — . 



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Néanmoins , pour rendre cet énoncé plus précis , il faut ajouter 

 les remarques suivantes qui dérivent de la nature même de fa 

 question. 



. 1° Le problème qui, dans le n° l , nous a conduits à l'équa- 

 tion (A), nous montre que la quantité cosmx est la limite vers 

 laquelle tend le produit é~""-'cosmx quand la grandeur positive y 

 devient infiniment petite. En posant e~* r: p,p sera un nombre 

 infmiment peu inférieur à l'unité, et nous aurons : e~'"" cosma; 

 :=: p"cosmx. Il résulte de là que si nos séries périodiques devien- 

 nent indéterminées , nous pourrons et nous devrons même en 

 multiplier les divers termes par les puissances successives d'une 

 quantité infiniment peu différente de l'unité, ce qui détruira l'in- 

 détermination. 



2° Les deux fonctions f[x), F(.r) sont données en nombres 

 Jinis pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites 



.rrr 0, .i rr — . Le cas où ces fonctions deviendraient infinies, 



dans l'intervalle cité, doit être exclu formellement comme con- 

 traire à la nature physique du problème qui nous a fourni l'équa- 

 tion (A). 



3° La fonction/(j) est en outre constamment positive, puis- 



