AUX DIFFERENCES PARTIELLES. 5 93 



tants inconmis. On propose de déterminer ces coefficients de telle 

 manière que l'on ait 



1ih.jn%va.mx-\-f{oc)Yik.„ûvimx = F(a;) 



pour toutes les valeurs de x comprises entre et tt. 



La fonction y^/j;) est essentiellement positive. La fonction Ffj?) 

 peut être positive ou négative ; mais , comme fe premier membre 

 s'évanouit pour a: = o et pour j; = vr, nous admettrons qu'on 

 a F(o) = etF('7r) = o. 



Les conditions F(o) = 0, F(7r) = o étant satisfaites, on 

 peut développer F(j7) en une série de sinus pour toutes les va- 

 leurs de X comprises entre o et tt. Le développement est de la 

 forme 



TT 



¥(x) = — 'Eismmx 1 sinm/xF{fA.')dfA,. 



L'équation (D) devient donc 

 (D') 'ZiA^msinmx -{-f{x)'ZiX„sinmx 



• I smmixP[t^)d/x. 



Pour y satisfaire, nous poserons 



A„ rz - / J/^(Pcosm;^-HQsin/w/u,), 



P et Q désignant deux fonctions de /x qu'il s'agit de déterminer 

 convenablement. 



En intégrant par parties, on a 



/ Fcosmitaw. = — — / sinmu. — du, , 



-^ m m -^ du. 



,„ . , Qcosm^ 1 , rfQ , 



/ ysinwîM-aM, = — 1 — / cosOTM, — au,: 



-^ m m • rifn, 



?, -75 



2 



= — Ssin/nj; 



71 



