274 RÉSOLUTION 
dont l’inconnue a pour valeurs les carrés des différences 
entre les raçines de la proposée, et cherchant une limite 
inférieure des racines positives de cette nouvelle équation ; 
la racine carrée de cette limite ou toute quantité moindre 
peut être prise pour l'intervalle des substitutions succes- 
sives qu'il faut effectuer dans l'équation. 
Cette méthode, considérée sous un point vue purement 
théorique, ne laisse rien à désirer du côté de la rigueur. 
Mais, dans l'application, la longueur des calculs néces- 
saires pour former l'équation aux carrés des différences, 
et la multitude des substitutions qu’on peut avoir à ef- 
fectuer, la rendent presque impraticable; et quoique La- 
grange y ait apporté quelques simplifications, les calculs 
qu’elle exige sont toujours très pénibles; aussi l’on a essayé 
d’autres solutions. Fourier a découvert un théorème 
qui renferme comme corollaire la règle des signes de 
Descartes , et à l’aide duquel on peut reconnaître qu'uné 
équation n’a auçune racine entre deux limites données , 
ou bien que le nombre des racines comprises entre ces 
limites ne peut pas surpasser un certain nombre facile 
à déterminer, Mais ce théorème ne donnant pas précisé- 
ment le nombre de ces racines, on peut être exposé, ‘en 
l’appliquant , à chercher des racines dans des intervalles 
où il n’en existe pas, de sorte que de nouvelles règles 
sont nécessaires pour faire disparaître cette incertitude. 
Le théorème dont le développement est objet de ce 
Mémoire a, beaucoup d’analogie avec celui de Fourier: 
Il fournit un moyen sûr de connaître combien une équa- 
tion a de racines réelles comprises entre deux nombres 
quelconques; cette connaissance suffit pour conduire à la 
détermination effective de toutes les racines réelles, sans 
qu’on. soit obligé de recourir à léquation aux carrés des 
différences. 
