DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 275 
1. 
Soit 
Nat Pr Or .. Tr + U —=0 
une équation numérique d’un degré quelconque, dont 
on se propose de déterminer toutes les racines réelles. 
On commencera par exécuter sur cette équation le cal- 
cul qui sert à trouver si elle a des racines égales, en opé- 
rant de la manière que nous allons indiquer. En dési- 
gnant par V la fonction entière Nx”+ Pr” +etc., 
et par V; sa fonction dérivée (qui se forme en multipliant 
chaque terme de V par l’exposant de x dans ce terme et 
diminuant cet exposant d’une unité), il faut chercher le 
plus grand commun diviseur des deux polynomes V et 
V,. On divisera d’abord V par V,, et quand on sera ar- 
rivé à un reste d’un degré inférieur à celui du diviseur V,, 
on changera les signes de tous les termes de ce reste 
(les signes + en — et les — en +). Désignons par V, ce 
que deviendra ce reste après ce changement de signes. 
On divisera de la même manière V, par V,, et, après 
avoir encore changé les signes du reste, on aura un nou- 
veau polynome V; d’un degré inférieur à celui de V.. 
La division de V, par V; conduira de même à une 
fonction V, qui sera le reste de cette division où l’on 
aura changé les signes. On continuera cette série de di- 
visions, en ayant toujourssoin. de changer les signes des 
termes de chaque reste. Ce changement de signes qui se- 
rait inutile si l’on n’avait pour but que de trouver le 
plus grand commun diviseur des polynomes V et V, 
est nécessaire dans la théorie que nous exposons. Comme 
les degrés des restes successifs vont en diminuant, on ar- 
rivera finalement soit à un reste numérique indépendant 
JD. 
