286 RÉSOLUTION 
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Notre théorème, modifié comme nous venons de le 
dire n° 9, sera souvent d’une application plus facile. 
Ainsi, lorsqu’en cherchant le plus grand commun divi- 
seur de V et de V,, on parviendra à un polynome y, 
(par exemple à celui du second degré ) qui égalé à zéro 
ne donnera que des valeurs imaginaires de x, il ne sera 
pas nécessaire de pousser plus loin les divisions, car ce 
polynome V, sera constamment de même signe que son 
premier terme pour toutes les valeurs réelles de x, de 
sorte qu'on pourra le prendre pour la dernière des fonc- 
tions auxiliaires V,,V,, etc. On pourrait même encore 
s'arrêter à un polynome V: qui s’annullerait pour des 
valeurs réelles de x, pourvu qu’on pût déterminer toutes 
ces valeurs. Car en désignant par p, q, r,.. celles qui se- 
raient comprises entre À et B, après les avoir disposées 
par ordre de grandeur, en commencant par les plus pe- 
tites, et observant que V, conserve le même signe pour 
toutes les valeurs de x comprises entre À etp, on trouve- 
rait, par l'application du théorème, modifié comme dans 
les n*8et9, combien l'équation V — o a de racines entre A 
etp—u, u étant une très petite quantité; de même, 
V, ayant encore un signe constant pour toutes les valeurs 
de x comprises entre p et q, on trouverait combien V=0o 
a de racines entre p+u et q — u, c’est-à-dire entre p et 
q, en prenant w suffisamment petit; on reconnaïtrait de 
même combien V= 0 a de racines entre q et r, et ainsi 
de suite. On suppose ici que l'équation V=o n’a pas de 
racines égales, et qu’une valeur de x qui annulle V, 
n’annulle pas V en même temps. 
