390 RÉSOLUTION 
toutes un premier terme positif, l'équation V — o aura 
toutes ses racines réelles. 
Réciproquement, si l'équation V=o a toutes ses ra- 
cines réelles, il faut nécessairement que les fonctions 
auxiliaires V,, V,.. jusqu'à celle qui ne contient plus x 
inclusivement, soient au nombre de m—1, (ou, en d'au- 
tres termes, que chacune de ces fonctions soit d'un degré 
inférieur d'une seule unité à celui de la précédente ) et 
qu'en outre leurs premiers termes soient tous positifs. 
En effet, si le nombre des fonctions V,, V3, etc., était 
plus petit que »#— 1, la suite des signes des fonctions V, 
V,, V,, etc., pour x — — œaurait un nombre de varia- 
tions plus petit que »; or, au contraire, elle doit avoir »2 
variations de plus que la suite des signes pour x=-+ , 
si l'équation V=0 a toutes ses racines réelles. IT faut donc 
d’abord que le nombre des fonctions V,, V:.. soit m—1, 
en outre le coeflicient de la plus haute puissance de x 
dans chacune d’elles doit être positif, comme dans V et 
dans V,; car, autrement, il y aurait une ou plusieurs va- 
riations dans la suite des signes des fonctions V, V,,V... 
pour æ— + æ et l'équation V—o aurait des couples de 
racines imaginaires en nombre égal à celui de ces varia- 
tions. 
Lorsque les coelliciens de l’équation V= o sont.indé- 
terminés et représentés par des lettres, les polynomes V,, 
V:, etc., qu’on obtient par la recherche du plus grand 
commun diviseur de V et de V, sont respectivement des 
degrés m—2,m— 3, etc., et lescoefliciensdes plus hautes 
puissances de x dans ces polynomes, en y comprenant 
V,,, sont des quantités littérales composées des coefliciens 
de l'équation V= 0. Les conditions de la réalité de toutes 
les racines de cette équation V—0 se réduisent donc à ce 
que toutes ces quantités soient positives, aucune n'étant 
