DES ÉQUATIONS  NUMERIQUES. 3rt 
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On peut être curieux de savoir comment la suite des 
signes des fonctions V, V,, V,,..., V, doit se modifier, 
Pour qu ‘elle puisse perdre une variation chaque fois que V 
s'évanouit. 
Ona vu, n* 4et 18, quesi c est uneracine , soit simple 
soit multiple, del’équation V — 0, les deux fonctions V et 
V, doivent avoir des signes contraïres pour x — € — u et 
le même signe pour x — c+u. De même, si l’on désigne 
par c’ la racine simple ou multiple de l'équation V — o, qui 
surpasse c immédiatement , de sorte qu’entre c et c’, il n’y 
ait pas d'autre racine, V, aura pour x — cl — u un signe 
contraire à celui de V. Or, V a constamment le même 
signe pour toutes les valeurs de x comprises entre c et c'; 
et comme V, a le même signe que V pour x = c+uet 
un signe contraire à celui de V pour æ = c'—u, on voit 
que V, a deux valeurs de signes contraires pour x = c+u 
et Por c'-—u; donc, tandis que croit depuis c+ 1 
jusqu’à c —u, V, Fe chant de signe une fois, ou ün 
nombre 1 impair de fois (1). 
Soit y la valeur unique de x ou la plus pet valeur 
de x, entre cet c’, pour laquelle V, change de signe; 
V'et V, auront pour x = y — u le même signe commun 
1, (1) On sait, queicette propriété; qui estle-fondement des:méthodes-proposées 
par Rolle et de Gua pour larésolution des équations, n’est pas bornée aux 
fonctions entières. On la démontre. aisément pour une fonction quelconque 
f(æ) d’une variabléiz , en observant que si la fonction dérivéel f/(x)fest cons- 
tamment. positive. ow négative pour toutes Jesyvaleurs de;laivariable.z.com- 
prises entre deux limites données, la fonction f(x) doit croître ou décroître 
continuellement dans leur intervalle; d’où il suit qu’elle ne peut pas s’éva- 
nouir pour deux valeurs de x comprises entre ces limites. 
