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minées qui y entrent, elles le deviennent, au contraire, 
très peu pour d’autres, si même elles ne viennent à di- 
verger, du moins à compter de leurs premiers termes. Or, 
bien qu’on puisse, dans chaque cas spécial, et à l’aide d’ar- 
tifices analytiques particuliers qui consistent principale- 
ment dans le changement des variables, obtenir de nou- 
veaux développemens de la fonction, qui n’aient point 
l'inconvénient dont il s’agit pour les secondes valeurs de 
ces variables; on concoit néanmoins qu'il serait avanta- 
geux, pour le grand nombre des applications , de posséder 
des méthodes qui permissent de calculer directement et 
avec le degré d’approximation désiré, la valeur que repré- 
sente une série peu convergente, sans recourir aux arti- 
fices analytiques dont il s’agit. 
Les séries qui procèdent par signes alternativement po- 
sitifs et négatifs, sont précisément dans ce cas : la valeur 
qu’elles représentent peut être calculée avec un degré d’ap- 
proximation d'autant plus grand et par un procédé d’au- 
tant plus rapide, qu’elles sont moins convergentes dès 
leurs premiers termes. 
Quant aux séries dont les termes sont constamment de 
même signe, outre qu'il est bien des cas où leur calcul 
peut être ramené à celui de séries qui procèdent par signes 
alternativement positifs et négatifs (*), il est encore dans 
(*) L'exemple le plus simple de cette transformation, se rapporte à la 
fonction exponentielle a*, dont le développement a tous ses termes positifs 
! 1 ; 
avec æ, et dont la valeur inverse TS a7* se calcule, comme on sait, par 
une série qui a ses termes alternativement affectés des signes + et—. Un second 
exemple, également simple, est donné par la fonction 7*, dans laquelle 7 
représente le rapport de la circonférence au diamètre du cercle, et dont on 
connaît deux développemens différens : l’un qui a tous ses termes positifs , 
l’autre procédant par termes alternativement positifs et négatifs. 
