SUR LE CALCUL DES SÉRIES. 789 
leur nature que, lorsqu'elles cessent d’être rapidement 
convergentes, les valeurs qu’elles représentent deviennent 
tellement grandes, que la difficulté de les calculer réside 
presque uniquement dans la difficulté même de les expri- 
mer par un nombre de chiffres fini. 
Euler avait déjà présenté, dans ses /nstitutions de cal- 
cul différentiel et dans d’autres écrits, un mode de trans- 
formation des séries, rapporté aux pages 344 et suivantes 
du tome III du Traité in-4° de Calcul différentiel et 
intégral de M. Lacroix, et qui conduit à des résultats ana- 
logues à ceux que J'ai obtenus, dans ce Mémoire, par des 
considérations directes et purement algébriques, ressor- 
tant de la théorie des moyennes. Jignorais cette circons- 
tance à l’époque où je fus conduit, par l’examen de cer- 
taines questions de mécanique appliquée aux machines, à 
entreprendre les recherches suivantes sur les séries; ce 
dont on ne peut manquer de s’apercevoir d’après la diver- 
sité des méthodes et des résultats. 
Le procédé d’Euler consiste, comme on sait, à substi- 
tuer, dans la série proposée, censée procéder suivant les 
puissances ascendantes et entières d’une certaine variable x, 
à la place de cette même variable, le développement in- 
défini d’une fonction de la forme 
sh 
S 
Les fonctions identiques 
(it — x) CE 
Re 2 Va, log(t— 2) =—log (à +=), 
dans lesquelles on suppose x plus petit et r plus grand que l’unité, donnent 
lieu à des rapprochemens pareils, etc., etc. 
