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Mais , outre que ce mode de transformation , fruit d’une 
de ces heureuses inspirations qu'on connaît à l’illustre 
géomètre allemand, ne peut s'appliquer directement ni 
avantageusement à beaucoup de cas des séries, il manque 
encore d’un complément indispensable, et qui consiste, 
d’une part, dans la détermination du reste ou complément 
de la transformée supposée limitée à l’un quelconque de 
ses termes, et d’où résulte l'appréciation de l'erreur abso- 
lue qu’on risque de commettre en arrêtant le calcul à ce 
terme; d’une autre, dans la discussion des limites de cette 
erreur, qui peut servir à régler la marche qu’on doit suivre 
pour obtenir, avec le moins de calcul possible, la valeur 
des sommes qu’on cherche. Car il est aisé de voir, sans 
même entrer dans aucun détail, qu’une série donnée est 
susceptible d’une infinité de transformées distinctes, selon 
le terme auquel on commence à l’appliquer ; or, on con- 
coit aussi que le choix de ce terme n’est point indifférent, 
et qu’il peut arriver bien des cas où la transformée, qui 
procéderait à compter des premiers termes de la série pro- 
posée, offrirait une convergence moins rapide que ne le 
fait cette dernière elle-même. 
La marche à l’aide de laquelle je suis parvenu à trans- 
former les séries d’une manière purement identique et 
sans négliger aucun de leurs termes, consiste à les com- 
biner plusieurs fois de suite, avec elles-mêmes, par voie 
d’addition ou de soustraction, et en les multipliant ou 
divisant, chaque fois, par des nombres convenablement 
choisis, de manière à ne pas changer la valeur absolue de 
leur somme, et à les partager en deux autres, dont l’une, 
finie et qui se rapporte essentiellement à la série d’Euler, 
soit, quand la chose est possible, plus rapidement con- 
vergente que la proposée, et l’autre, non moins digne de 
remarque et également convergente dans les cas d’appli- 
