SUR LE CALCUL DES SÉRIES. 791 
cation, ait une valeur négligeable vis-à-vis de celle de la 
première, et dont on puisse assigner des limites conyena- 
blement approchées. 
Les premières parties de ce Mémoire ont pour objet la 
transformation et le calcul des séries purement numé- 
riques , et dont les termes indéfiniment décroissans sont 
alternativement positifs et négatifs ; on y expose plusieurs 
formules de transformation qui permettent d'obtenir la 
somme de ces séries d’une manière beaucoup plus rapide 
que par la formule d’Euler; on insiste principalement sur 
la manière de régler la marche des opérations de manière 
à les réduire, dans chaque cas, au plus petit nombre 
possible ; ce à quoi l’on parvient par la considération des 
limites supérieures et inférieures relatives à l'erreur que 
l’on risque de commettre quand on néglige la seconde 
partie des transformées, composée d’une infinité de termes 
décroissans , et qui forme, en quelque sorte, le reste ou 
complément de la première. 
v . . 
Ges considérations générales sont d’ailleurs suivies d’ap- 
plications numériques à des séries telles que celles qui 
expriment la valeur des nombres LT, log2, V2 , et dont 
la convergence est si faible qu’il faudrait en calculer plus 
de 50000 et imême de 500000 termes pour obtenir le degré 
d’approximation qui résulte de lemploi des 5, 6 ou 7 pre- 
Miers termes des nouvelles formules. 
Dans les articles suivans, on expose les formules de 
transformation relatives principalement aux séries qui 
procèdent suivant les puissances ascendantes ou descen- 
dantes d’une certaine variable plus ou moins voisine de 
l'unité, soit que d’ailleurs les termes de ces séries pren- 
nent alternativement les signes + et—, soit qu'ils con- 
servent constamment le même signe. 
