SUR LE CALCUL DES SÉRIES. 703 
» des rapports numériques de chaque terme au suivant, 
» cousidérés dans toute l’étendue comprise depuis a, . Jus- 
» qu'à l'infini. » 
Ce théorème paraît d'autant plus digne de remarque 
qu'il suppose seulement que la série, d’ailleurs décrois- 
sante , soit donnée d’une manière quelconque par la loi de 
dérivation de ses termes, et qu’on soit en état d’assigner 
la plus petite et la plus grande des valeurs du rapport de 
chacun d'eux au suivant; la seule restriction portant sur 
le cas où la première de ces valeurs est précisément égale 
à Punité, ce qui rend infinie l’une des limites, et indique 
une modification quelconque survenue dans l’état algé- 
brique de la fonction que’ représente le développement en 
série : comme, par exemple, lorsqu'elle change de signe 
ou devient imaginaire en passant par o ou l'infini , etc. 
Des séries purement numériques dont les termes, alterna- 
tivement positifs et négatifs, décroissent indéfiniment 
ainsi que leurs différences. 
1. Représentons par s, la somme des n premiers termes 
Goy 1 As... @,_, d'une pareille série, supposés quelcon- 
ques , et par &,, @,,,, @,,,5 @,,:.... les valeurs absolues 
ou numériques des termes suivans; enfin par S la véritable 
valeur 5. de la série, poussée à l'infini, ou ce qu’on 
nomme sa /zmite, de sorte qu’on ait 
(a) S=s,+a.—a,,.+a,,,—a,,;+4,,,— etc. 
En désignant , en général, par Aa, la différence a,— a,,, 
entre les valeurs absolues de deux termes consécutifs 
quelconques, dont le premier est a, et le second &,,,, afin 
de n’avoir à considérer que des différences positives dans 
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