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SUR LE CALCUL DES SÉRIES. 705 
et, si l’on prend successivement S— 5,, S — 5, + a,, 
S—5s,+a,—a,,,, etc., l'erreur commise sera au-dessous 
de a, pour la première, de a,,, pour la seconde, de à, 
pour la troisième, et ainsi de suite. 
2. Ces notions fondamentales étant rappelées, on re- 
marquera que, puisque la valeur de S se trouve comprise 
entre celles des, et de s, + a,, elle pourra différer moins 
de leur moyenne arithmétique s, + + &,, que de chacune 
d'elles en particulier. Prenant, en effet, la demi-somme 
des expressions (b) et (c) de S, on trouvera 
(e) S=s,+<a,+2:(Aa,—Aa,,,+Aa,,,—Aa,,,+Aa,,,-etc.), 
relation que nous appellerons la transformée du premier 
ordre de la proposée (a), relative au terme à,, et dans 
laquelle la partie entre parenthèses forme une série d’un 
genre analogue et jouissant des mêmes propriétés, si les 
différences Aa,, Aa,.,, Aa... Sont constamment dé- 
croissantes, ou, ce qui est la même chose, si les différences 
du second ordre Aa,—Aa,.,,— A’a,, Aa,,, —Aa,,, — Aa, 
Aa,,, — Aa,,,; — Va,,,, etc., sont touies positives; Cir- 
constance qui a lieu dans. une infinité de cas. 
La série entre parenthèses étant donc convergente , 
on aura 
S=5s,+2a,, à moins de :Aa,=—:(a,—a,,,); 
de sorte que cette valeur deS, qui est trop faible, sera 
d'autant plus approchée, que la série proposée sera moins 
convergente dans ses premiers termes, ou que le rapport 
de a, à a,,, S'approchera davantage de l'unité. 
Mais, pour que cette même valeur de $ soit plus exacte 
que celle S—s, + 4, , il faut, tout au moins, que la limite 
100 . 
