SUR LE CALCUI DES SERIES. 797 
valeur exacte à moins de + A@,., , si don a 
4, <3a,,,, ou, plus rigoureusement, Aa,,,<24a 
n+1 n+2 2 
el 
S—s,+a,—a,,++a,,,, à moins de:Aa,,,, 
si l'inverse avait prés nent lieu ; ce qui revient à n’opé- 
rer la transformation qu’à partir du terme suivant a,,, de 
la série proposée. 
4. En continuant à raisonner ainsi, de proche en pro- 
che, on voit que, si l’on avait constamment, pour un in- 
dice quelconque n, a, > 3a,,,, il n’y aurait aucun avan- 
tage, sous. le rapport de l’approximation, à remplacer la 
série (æ) par l’une de ses transformées du premier ordre, 
à quelque terme qu’elle appartint, ce qui tient à ce que 
cette série serait, par elle-même, très convergente. Nous 
verrons, plus tard, comment, dans cette circonstance, 
on doit, modifier le procédé qui nous occupe; contenions- 
nous, pour le présent, d’examiner le cas des séries peu 
convergentes où l’on a , dès le terme à, et pour les sui- 
vans , Aa, < 2Aa,,, Ou, tout au moins , 4, <3a,,,. Voici 
comment, dans cette hypothèse, on pourra obtenir de 
nouvelles expressions de S, plus approchées que les précé- 
dentes, ou dont les erreurs aient de plus petites limites. 
Mettant les transformées (e) et ( f) sous cette forme 
S=s,+:a,+:(4a,+a,,, +da,,;tetc.), 
S=s,— a,+-a,,—-(4a Mas Mans + etc); 
relations dont la dernière revient à la suivante: 
S—s,+-a,+-Aa,—:(4a,.,, er Pa, + a, + etc. ); 
