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SUR LE CALCUL DES SÉRIES. 799 
5. On peut poursuivre ce raisonnement tant que les 
différences des ordres successifs seront constamment dé- 
croissantes, ou que celles de l’ordre x - 1, immédiate- 
ment supérieur à l’ordre & auquel on arrête, demeu- 
reront toutes positives; si, de plus, la condition 
Aa, << '3Ma,+, Se trouve satisfaite pour tous les ordres in- 
férieurs à «, l’approximation sera très rapide, et elle le 
sera le plus qu’il est possible, eu égard au nombre des 
termes employés, si l’on a, en même temps,. 
Atia, <24F+1 @,,,, pour ces différens ordres. On trouvera 
ainsi, pour la transformée dé l’ordre w, relative au 
terme @,, 
1 
(2) S= 59 3 Go 7 AG GA Gn es à à 
+ _ Aa, + = (Aa, -Aa,,,+ Ata,s,-Manss+, etc), 
et par conséquent, On aura 
(2) S=—s, + = y + 7A@n + pan... + = a 2 
2 
. 1 
à moins de — Aa. 
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6. Cette dernière expression de S, supposée prolongée 
à l'infini, est précisément celle à laquelle Euler est arrivé, 
par une autre voie, dans ses /nstitutiones caléuli diffe- 
rentialis (Pars Il, de transformatione serierum, pag. 232 
et seq.), et dont il a tiré un très grand parti pour la som- 
mation des séries peu convergentes ou même diver- 
gentes (*); mais Euler n’a pas fait connaître l'expression 
(*) Voyez aussi, au sujet de ces recherches d’Euler, l'excellent Traité de 
Calcul différentiel et intégral de M. Lacroix, 2° édition, in-4°, tome III, 
