SUR LE CALCUL DES SÉRIES. 809 
Posant enfin l'équation 
p(u,n) — (4, n) — 0, 
qui peut être censée représenter une courbe plane aux 
coordonnées rectangulaires w et n, lorsque la première 
représente une surface tout entière aux coordonnées C3 
æ et n, elle fera pareillement connaître, pour chaque 
ordre» de différences, le rang r du terme passé lequel l'i- 
négalité Aa, < 34*a,., va se changer en l'inégalité inverse 
Aa, > 34ta,., et réciproquement. 
15. Supposant notamment qu’on se donne le rang ñn 
du terme de la série proposée qu'on veut soumettre aux 
transformations dont il s’agit, l'équation 
p(u; n) — 3 (4, n) 10 
résolue par rapport à , fera découvrir l’ordre y auquel 
on doit arrêter ces transformations pour être certain qu'on 
a constamment Aa, <[ 34a,4, depuis w — o jusqu’à 
m= uw — 1, c’est-à-dire dans tous les ordres inférieurs 
à 4; ce qui est indispensable, comme on l’a vu (7); pour 
que la formule (5) soit d’une application avantageuse. Il 
ne s'agira , en effet, que de prendre pour #, un nombre 
entier inférieur ou tout au plus égal à la plus grande des 
racines positives de l’équation ci-dessus; car la fonction 
Qu, n)—3{(z, n) ne pouvant, dés lors, changer de signe 
pour les valeurs de w comprises entre # et o, elle sera 
constamment négative si seulement elle l’est pour #—0; 
ce qui a lieu, par hypothèse, puisque autrement on devrait, 
d’après nos principes, substituer au terme &, de la série 
proposée quelqu'un de ceux qui le suivent. 
Mais, afin d’être positivement assuré que la valeur 
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