SUR LE CALCUL DES SÉRIES. 857 
degré d’approximation égal à celui que comporte la va- 
leur 0,785924 trouvée en dernier lieu. 
21. On arrive à des résultats analogues en considé- 
rant la série 
I 1 I 1 
1 
— EI EE = ZE = + = — 
Ne TA Terre eo 
qui représente le logarithme népérien de 2, et à laquelle 
Euler a également appliqué sa formule de transformation 
aux endroits cités. On trouve, en effet, 
SFPus) :  BHRÉGANE) | gr æ+1 
ani 7 n+1 n+1? 
rapport qui converge sans cesse vers l’unité à mesure 
que n augmente, et qui devient précisément égal à 3 
quand on a 
fe Nan NTE. 
Prenant, par exemple, 
N—2, OÙ Sn—1—%, An—3 Anti 4 Ant 5) Ant» ElC., 
il viendra  —5, et, par la sixième des formules (//) du 
n° 17, 
S— 5, +2 (255ar—2460,,, + 21 ends 22455305.) 
— 0,60314546, 
valeur exacte à moins de 0,000002, et qu’on n’obtien- 
drait, par le procédé direct, qu’en calculant au - delà 
des 588000 premiers termes de la série proposée. 
22. Soit enfin la série 
1 1.3.9, 1:3:5.7 4 1%3.5:...(2n—1), 
S—1—}+5 z LT a RTE 
6 
.5....(27—1) (en+1) + 
6.... on (ent2) 
etc., 
