872 RECHERCHES SUR LE CALCUL DES SÉRIES. 
séquent les valeurs de la fonction dont elle tire son 
origine. 
Dans l’un et l’autre des cas qui nous occupent, ces va- 
leurs sont imaginaires , en effet; mais il est bien des cas 
où les mêmes circonstances peuvent se présenter sans que 
la fonction génératrice cesse d’avoir une valeur réelle et 
finie, algébriquement parlant : tel est, par exemple, le 
développement si connu 
1+ z FA, 75 zh + etc, 
de la fraction 
laquelle devient infinie pour z = 1, et change simplement 
ch : ? 8 P 
de signe pour z >1; de sorte que la seule chose qu'on 
puisse aflirmer, dans le cas où la limite supérieure du 
. , I 
reste des séries se présente sous la forme =, c'est que les 
fonctions génératrices correspondantes éprouvent un chan- 
gement d'état algébrique quelconque, et qu’elles cessent 
d’être représentées, même sous le point de vue analytique, 
par leurs développemens, toutes les fois que la limite 
dont il s’agit devient négative. On concoit, en effet, 
qu’une série à termes positifs ne pouvant changer de signe, 
ni acquérir explicitement des valeurs imaginaires pour 
des valeurs réelles et positives des variables qui y entrent, 
il faut bien que l’absurdité ou la contradiction se mani- 
feste par quelque signe particulier, tel que la valeur in- 
finie ou négative de la limite supérieure de ses restes. 
