iSo Mémoires de l'Acade'mie Royale 

 TM (t) :: Rm (dy). Mm='-^- s qui eft lexpreffion 

 générale d'une portion infiniment petite & indéterminée 

 de la Courbe ; ôc mettant dans cette formule les valeurs 

 de t ôc de y trouvées fuivant la nature de la Courbe , ôc 

 prenant l'intégrale de la différentielle qui en réfultera , 

 elle donnera la longueur cherchée de la Courbe. On en 

 va donner quelques exemples dans les Problêmes fuivans. 



Exemple I. 



Trouver la longueur de la Parabole ordinaire. Son 

 Fi g. i. équation eft yy = ax ; l'on a par la Méthode des tan- 

 gentes P T= 2 x ; donc T M (t)=K^ï ~+~yy == y 

 iS +y.y -+ ai en mettant pour xx fa valeur JLL. Donc Mm 



a a a a 



f 'J2 \=^dy V r *yy-+ a * , dont l'intégrale feroit la longueur 



de la parabole. Mais il eft facile de voir que cette reâi- 

 Fis. î. flcation fuppofe la quadrature de l'hyperbole. Car fi l'on 



prend V qyy-t- « ë — y , Aanc.y = V î * — "" . & prenant 



\ 



la différence , dy = — p=L=L=^ ; donc dy y 212. 



-+**. 



— r=====, & cette différentielle eft la même que celle 



de l'efpace extérieur borné par une hyperbole équilate- 

 re , mais divifée par une grandeur donnée. Car foit l'hy- 

 perbole équilatere A ME , qui ait pour axe conjugué la 

 ligne CD ; ayant nommé C A, a; CP ,y ; donc Pp = dy ; 

 ôc P M t z; on aura par la nature de cette \\gneyy =z? 



— aa, ôc prenant la différence , dy = v , * „ , ôc mul- 



tipliant par z ( P M) , il viendra ,/,, „«■ qui fera la dif- 

 férentielle de l'efpace hyperbolique ; Donc, ôcc. 



Fie. î. Si la Courbe A MB eft la féconde parabole cubique, 

 dont l'équation eft a x x = _yî ; alors P T = \ x ; donc 



T M 



