i<?2 Mémoires de l'A cade' mie Royale 

 tre ligne A m infiniment proche de A M, & décrivant 

 du centre A le petit arc MR; on trouvera la foûtangen- 

 te, AT =^—-=,'22 en mettant pour dx fa valeur'-^. 



On aura donc TM= 2. V ccyy -+-« + ; donc Mm ( — ) 



=^ \^ ccyy^r-a 4. Or cette différentielle ne diffère pas 



de celle d'une parabole dont le paramètre feroit % -^- t 



c'eft-à-dire une 4 e proportionnelle à la circonférence > 

 au diamètre, & au rayon du cercle générateur ; Donc la 

 longueur de la fpirale eft égale à celle d'une telle para- 

 bole. Ce que l'on connoît d'ailleurs être véritable. 



Exemple IV. 



Trouver la longueur d'une Spirale logarithmique. 



T 1 g. 5. Les mêmes chofes étant pofées , on aura par la propriété 



de cette Courbe dy.dx ::m.n, parce que l'angle A MT 



eft toujours conftant. Mais à caufe des triangles fembla- 



bks MAT, MRm, Rm {dy). RM (dx):: A Al (y). 



AT= rj~ =^ en mettant pour dx fa valeur ~. On 

 aura donc T M— y ^ m '" -* " " , & Mm ('-^) = dy 



mm \ y / •* 



y mm-tnl d ont l'intégrale == — ^ mm-^nn eft égale 



m m 



à la portion A M de la Courbe, qui eft auffi la valeur de la 

 tangente T M. D'où l'on voit que cette Courbe eft d une 

 grandeur finie, quoiqu'elle faite une infinité de retours 

 à l'entour du pointa, ce qui eft digne de remarque. 



Exemple V. 



Trouver la longueur de la Cycloïde. 

 FlG £w Soit la demi-cycloïde A MB qui a pour demi-cercle 

 générateur AND. Ayant mené d'un point quelconque 

 f l'ordonnée PM, & une autre infiniment proche 





