i <?4 Mémoires de l' Acade'mie Royale 

 la Méthode des Développées , ce qui fe peut faire en deux 

 manières. L'on en va donner un exemple dans la rectifica- 

 tion de la Cycloïde , qui eft une Courbe aulli ancienne que 

 le mouvement dans la nature , mais à laquelle les Géomè- 

 tres n'ont penfé que dans le fiecle précédent , ôc dont les 

 propriétés merveilleufes furpaflent de beaucoup celles de 

 toutes les autres que Ton a connues jufqu'ici. 



Première Manière. 



Tic 6. Soit la demi-cycloïde A MB , qui a pour demi-cercle 

 générateur AND , l'on demande la longueur de cette 

 Courbe. 



Pour cela foit d'un point quelconque P pris fur le dia- 

 mètre AD tirée une perpendiculaire P M coupant le de- 

 mi-cercle en N, & une autre infiniment proche pm, ÔC 

 foit du point M menée MR , &c du point N, NO paral- 

 lèles 2.AB: Ayant nommé A D , ir ; A P , x; donc P/ ou 

 NO ou MR<=dx; &lP N,y\ donc On = dy; l'on cher- 

 chera la valeur de R m qui eft égale à Nn H- n ; ce qui 

 fe prouve ainfi. 



Ayant mené MQ^ parallèle au petit arc Nn que l'oir 

 regarde comme une ligne droite à caufe de fon infinie pe- 

 titefie , l'on aura les deux triangles MRQ, NO n qui fe- 

 ront femblables & égaux ; donc n = R O : Il rtfte à prou- 

 ver que^O m = N n; ce qui eft évident :'car Q_m = nm — 

 N M\ mais N M eft égale à l'arc A N, & nm = An\. 

 donc Q_m — An — AN= Nn. L'on aura donc en termes 



analytiques Rm = dy-i- ■ . r x : Car à caufe des trian- 



gles femblables CP N, NO n,P N (y = V zr x — xx). 

 CN(r)::NO (dx). Nn=^r===== x . Mais prenant 

 la différence de l'équation au cercle, il viendra dy=i 



t d X - 



;r==; donc Rm=zOn-t-Nn — ' • Ainfi 



v i r x — xx V i r x x x 



1» "" T~Z~~ ~~ 1 , 4 r r d x * 4 r x d x l -+x xd x i zrdxi 



on auraAz m —dx 1 -i ■ == , = — - 



