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en donnant un commun dénominateur, & divifant par 



2 r — x ; doncMm=^dx V ir qui eft la différentielle de 



la Cycloïde , dont l'intégrale = 2\/ 2r x eu la valeur de • 

 la portion indéterminée A Al de la Courbe ; mais le point 

 M étant en B , alors x = 2 r ; donc 2 V 2 r # = 4 r fera la 

 longueur de la demi - Cycloïde ; Donc la Cycloïde en- 

 tière eft quadruple du diamètre de fon cercle générateur ; 

 ce que l'on connoît d'ailleurs être véritable» 



Seconde Manière. 



Les mêmes chofes étant pofées , foit menée du point M 

 la tangente MS, qui eft toujours égale & parallèle à la 

 corde A N; ainfi à caufe des triangles femblables AP N, 

 AIR m, l'on aura AP (x).AN ( V 2 rx)::R M{ dx). 

 Mm = — j-i— = dx V J_[_ , qui eft la même valeur que 



X 



celle que l'on vient de trouver ; donc, &c„ 



T r o 1 s 1 e' m e Manière. 



Les mêmes chofes étant encore pofées , foit imaginé 

 que la deni-Cycloïde foit enveloppée d'un fil , & que ce 

 fil fe développe en commençant par {on extrémité A , 

 l'autre B demeurant fixe & immobile ; il eft clair qu'il 

 décrira la Courbe AT F; & que chaque partie de ce fit 

 T.\l,t m qui touche la Cycloïde dans les points M, m r 

 & qui eft perpendiculaire à la Courbe AT F, eft toujours- 

 égale à la portion développée A M, A m. Ainfi pour rec- 

 tifier cette Courbe f il n'y a qu'à trouver la longueur du 

 fil AIT, ce qui fe fait en cette forte. 



Soit décrit du point m comme centre le petit arc SV, 

 que l'on regarde comme une ligne droite à caufe de fon 

 infinie petitefle , les deux triangles A P N, S Vs feront 

 femblables; car ils font rectangles en P & en V, & l'angle 



ANP_ eft égal à F s S. L'on aura donc A N{V xrx}. : 



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