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i€6 M émoir es de i.'Acade'mie Royale 

 N P (V zrx — xx ) : : Ss = Nn par la génération de la 

 Cycloïde ( r , ' * — y P S = -—^L qui eft la différentiel- 

 le de TS, dont l'intégrale = V 2 r x = TS=AN=>SMi 

 donc TS -+- S M c'efl - à - dire TM ou la portion^ M 

 de la Courbe = 2 V 2 rx ; mais le point M étant en B, alors 

 *=2i'i donc 2 1/ 2 r.v = 4r; donc &c. 



Il feroit facile par-là de trouver la valeur de l'efpace 

 Cycloïdal; car il n'y a qu'à chercher la valeur de S t'en 



difant A N (V77x~). AP (x) : : S s ( -7=^- — V SV 



\V xr x xx J 



î== i7TTT"rV 1 ~ <i ue l' on auroit pu trouver encore 



en confiderant le triangle rectangle S l's; cat S P=$ s* 



*■ rrdxT- rxdxi rrxxtlxt J _ O 77" 



—<;V= == - - - ; donc S y 



rx d x . 



c=^_— ï ^7=_— — =. Et multipliant cette grandeur pat 

 '_ M S — VT7 ~ X , l'on aura _H^ — pour l a va i eur du pe- 



* l lV t rx xx 1 l 



tit triangle S«jj qui eft la différentielle de l'efpace exté- 

 rieur A M S A. Mais cette différentielle eft la même que 

 celle du fegment A N. Ce que je démontre ainli. 



Soit le demi-cercle A ND ; ayant mené du point A 

 la corde A N, ôc une autre infiniment proche An; lbit dé- 

 crit du rayon A N le petit arc iV , & menée l'ordonnée 

 NP , il eft clair que les deux triangles A P N , NO n fe- 

 ront femblables ; donc P N ( V 2 r x—x x).P A{x)::On 

 (-£z\NO= , "*' , & multipliant cette 



\Virx) VxtxxVirx xx ' ^ 



grandeur par '-AN— — — , il viendra comme aupara- 

 vant j^rt===== ; donc &c. D'où l'on voit que l'efpace 



extérieur A MBEA eft égal au demi-cercle générateur; 

 Donc l'efpace Cycloïdal eft triple de fon cercle générateur. 



