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L'on auroit encore plus facilement cet efpace extérieur 



AEE, en confidérant les deux triangles femblables AP N t 



MRm; àt faifkntRm r r dx — ' —y MR (dx) ::PN 



. trxdx — xxdx .■ 



(V2rx — xx ). " ^ ( .y ) ; donc v =dxV 2.rx— xx, 



' ' ,- V * rx X X * 



car le premier membre de cette égalité eft la différen- 

 tielle de l'efpace extérieur, & l'autre eft celle du fegment 

 APN; donc &c. 



Pour marquer la fécondité de ce calcul, voici encore 

 deux autres manières de mefurer l'efpace Cycloïdal. i°. 



L'on multipliera 2 r — x(P D ) par * ,dx ' ■*—. ( Km =3 



Y 2. r x x x 



n-t-Nn) ÔC l'on aura *-'d*-xdxV i,x — xx ^i* v\ rx — xx __ 



dxV 2.r x — xx. Mais fi l'on multiplie le numérateur & le 

 dénominateur du premier membre par 2 r — x, il viendra 



4 r r fi x zrxdx 



1 / lrx "77 ; L on aura donc pour la différentielle de 



l'efpace ■ 4rr — ■ rrx .dx V 2. r x — xx. Or la 



V irjr xx "' zrx xx 



première partie eft oûuple de la différentielle du demi- 

 cercle générateur. Car foit décrit le demi-cercle A MR y F » «• '•' 

 foient menés du centre Cdeux rayons infiniment pro- 

 ches Cm, C m , & des points M, m , deux ordonnées MP t 

 mp, & MR parallèle à A B: L'on dira à caufe des trian- 

 gles femblables CP M, MRm; P M ( Vzrx—xx). CM 

 (r)::RM{dx). Mm = —~â=. t & multipliant par 



"irx- — xx-* * -1 



-r, l'on aura — — * pour le petit fe£leur MCm: 



x iVin xx * * 



donc &c. La féconde partie eft quadruple de la différen- 

 tielle du même demi-cercle, & la troifiéme eft encore 

 égale à la différentielle de ce même demi-cercle ; donc 

 la différentielle de l'efpace Cycloïdal eft triple de celle 

 du cercle générateur ; donc ôcc. 



2°. L'on multipliera PM = V2 rx — xx-hz[en nom? 



