îéS Mémoires de l'Acade'mie Royale 



manr l'arc A N, z ) par Pp=dx, & il viendra dxV irx— xx 

 H- z dx pour la différentielle de l'efpace, dont l'intégrale 

 eft encore triple du demi-cercle générateur. Ce que je 

 prouve ainfi. 



L'on voit d'abord que le premier membre eft la diffé- 

 rentielle du demi-cercle générateur. Mais pour avoir l'in- 

 tégrale du fécond z a x, j'y ajoute x dz—xdz,ctqu\ donne 

 zàx-+-x dz — x dz :or la fomme des zdx~+-xdz eft égale à 



-b" 



z x ; il ne refte donc plus qu'à connoitre x dz qui eft double 

 dé la différentielle du demi-cercle générateur ; Car dz~ 



-=—=, donc xdz= - ~^- * : donc &c. 



Vi rx—xx * in . xx 



Si l'on prend AP=lCA = i r ^ je dis que l'efpace 

 AMPfeta. quarrable indépendamment du cercle. Carie 

 parallélogramme APMI-- r y-\-- r z, duquel ôtant 



l'efpace A MI qui vaut lefegment AP'N= X - rz— '- r y 

 il viendra pour la valeur de l'efpace cherché APM, 

 Lry = -rr **-, parce qu'alors _y = r Y~~ ,donc cet efpace 



eft au triangle CA N comme 5 eft à 2; Ce que M.Hugens 

 a découvert le premier. 



Si le point P tombe au centre C, alors le parallélogram- 

 me A Al fera égal à rr-i-rz , parce qu'en ce cas jy — r ; 

 donc l'efpace A M N borné par le cercle , par la roulette 

 & par la ligne A I N , eft égal au quatre du rayon. 



Si l'on veut maintenant ttouver la longueur de la Cour- 

 be FTA formée par l'enveloppement du fil ou de la droi- 

 te B E F autour de la Courbe B MA , Ton confiderera 

 que les deux fecleurs Vm S,tmT font femblables ; ainfi 



mV{V7Tx).VS( r xdx )::m 1(2 V ' 2 "rT). tT 



* V irxxV'i rx — — x x ' 



— 4/ — — " qui efl la différentielle de la Courbe : 



r x r x x ' irj; x x * 



mais cette différentielle eft double de celle de la corde 

 menée du point IV au point D ; donc la portion FT eft 

 double de cette corde , & par conféquent la Courbe en- 

 tière 



