i84 Mémoires de l'Académie Royale 

 qu'ainfi pour prouver tous les points de la Courbe , il n'y 

 a qu'à déterminer la longueur du rayon refléchi M N. 



L'on a trouvé dans la Seâion VI. de l'Analyfe des Infini- 

 ment petits pour l'expreiïion générale du rayon refléchi , 



-j^ ' Nommant donc le diamètre AE , 2r ; y1 P ,x ; 



d.v 



— 1 ddy 



P M , y }\'on auraàcaufe du cercle_y = ^^2 r x — x x ,?x. 

 prenant les diflPérences dy = ''— ~'' » "■y'' 



■ rrdx^ — zr X dx'-i-x xdx'' , ,, — rrd* 



; & ddy = 



zr X — XX y . 



irx — X xV 1 r X -i- x x 



en prenant dx pour confiante : fubftituant donc ces va- 

 leurs dans î^^-±r"/^ , l'on trouvera MN=^V^2rx — xx 



— z a dv 



= ~ P M. C'efi-à-dire , que pour avoir tous les points de 

 la Courbe , il faut prendre le rayon refléchi moitié du 

 rayon incident. D'où l'on voit que fi le rayon incident 

 pafle parle centre du cercle, le point iV le trouvera en 

 f ,c'eft-à-dire au milieu du rayon du cercle, 6c c'eft là le 

 point que l'on a coutume de prendre pour le foyer. 



De là il eft facile de rectifier cette Courbe; car l'ona dé- 

 montré dans la môme Section que la Cauftique ANF étoit 

 toujours égale au rayon refléchi par le rayon incident ;ainiî 

 la portion ^A'fera au rayon refléchi A/A^comme 3 à i ,& 

 au rayon ir.cident PAÎ comme 5 à 2 , & par conféquent la 

 Courbe entière ANt eft au ïayon du cercle comme 5 à 2. ■ 



De plus fi l'on mené du point Al la perpendiculaire 

 Ali, il eft clair que la partie de la Courbe FA/eft à la 

 partiel A^ comme B i eft à IC. Car A N=A1N-+-IC, 

 ôc FN=A1N^IB; donc, &c. 



Si l'on conçoit maintenant que la Cauftique ANF foie 

 enveloppée d'un fil , & que ce fil fe développe en com- 

 mençant par le point A , l'autre extrémité F demeurant 

 fixe & immobile , il eft clair qu'il décrira la Courbe AHD 

 dont on demande la nature & la longueur. 



L'on a démontré dans la même Section que cette Cour- 

 be étoit une Cycloïde formée par le roulement d'un cer- 

 cle 



