i8(j Mémoires de l'Académie Royale 



4°, Que la Courbe entière /îHD eft double de fa dé- 

 veloppée ANT. 



Alainrenant fi l'on veut avoir l'efpace borné par la 

 circonférence du cercle générateur & par la Cauftique , il 

 n'y a qu'à multiplier \ MN {^t^zrx — xx) par RM (dx), 

 & l'on aura le petit triangle NMm z=i^dx i^ 2 rx — x x 

 qui eft la différentielle de l'efpace AMN; mais dx 

 t^2rx — .VA' eft la différentielle du fegment /^PAf, donc 

 l'efpace AMN eft le quart de ce fegment, donc l'efpace 

 entier ABiT eft la quatrième partie du quart de cercle ACB. 

 D'où l'on peut conclure que le quart de cercle eft divifé 

 par la Cauftique en deux efpaces qui font comme nombre 

 à nombre. 



Pour avoir l'efpace AHM, l'on multipliera A/iî^-H A 



(dx-^-^dx) pari HM{~:/^2rx — xx), ôc on aura le petit 

 trapèze H M mh^=2.dx y^zr x — x x, qui eft la différen- 

 tielle de l'efpace: D'où l'on voit que cet efpace eft double 

 du fegmentv^/WP,. & par conféquent que l'efpace entier 

 AHDBMA eft double du quart de cercle ACB. 



Il eft évident, 1°. Que cet d^zcc AHDBMA eft 

 quadruple du demi-cercle qui auroit formé la Cycloïde 

 AHD en roulant fur le quart de la circonférence ABy 

 & par conféquent que l'efpace extérieur A HDTG eft 

 double de ce même demi -cercle générateur qui auroit 

 pour diamètre BD. 



2°. Que l'efpace AHNA vaut neuf fois l'efpace AMN. 

 Car AHM = 2APM, ôc APM = ^AMN; donc 

 Vc(p3iceAH3FNA=ç)AMBFNA. 



3°. L'efpace HDT ei\ égal au fegment B AI I ; car 

 TH=MI, & l'efpace G/^D eft égal au quart de cercle 

 ACB; donc l'efpace GTHA eO. égal à l'efpace cir- 

 culaire A MIC. 



4°. L'efpace AHM eft à l'efpace MBDH comme le 

 fegment AMP eft ?u fegment PA4BC. 



5°w L'efpace HDT eft au refte AGTH comme le 

 fegment BMI eft au fegment A MIC, 



