j,83 Mémoires de l'Académie Royale 

 valeur du petit triangle MNm qui eft la différentielle de 

 refpace A MN i mais la différentielle du fegment circu- 

 laire AM eft égale à — —— — ; donc l'efpace /f Af iV 



efl an fegment /^Af// comme i eft à 3, & par conféquent 

 l'efpace Cauftique entier eft au demi-cercle auffi comme 

 1 eft à 3. Donc cet efpace eft au demi-cercle générateur 

 comme 3 eft à 1 ; car les cercles font entr'eux comme les 

 quarrés de leurs diamètres. Il fera facile de trouver les 

 rapports que ces efpaces ont entr'eux ôc avec leurs cercles 

 générateurs, 6c d'en déduire toutes les autres propriétés, 

 eomme on l'a fait dans la première Cauftique. 



Si l'on développe la Cauftique /^A^f en commençant 

 par le pointv^, elle décrira la Courbe ^HZ), qu'on a 

 démontré dans XAnalyfe des Infiniment -petits être une Cy- 

 cloïde femblable formée par le roulement d'un cercle qui 

 auroit pour diamètre le tiers de AB le long de la circon- 

 férence AME mife dans une pofition renverfée de la pre- 

 mière, comme on le voit par la Figure : car fon origine 

 eft en y^,' & fon fommet fera dans le diamètre AB pro- 

 longé. L'on demande la longueur de cette Courbe, & 

 l'efpace qu'elle renferme. 



Soient pour cela prolongés les rayons réfléchis A^Af, 

 Nm, jufqu'aux points H, //, de la Courbe, il eft clair par là 

 nature des développées, que ces lignes A'H, Nh, feront 

 perpendiculaires fur la Courbe y^HZ), & égales aux por- 

 tions yf A' de la développée; ainfi les Semeurs .A/ A^i? j 

 HNh , feront femblables : l'on aura donc NM (-j- A^a r at).] 

 NH{^l^2rx) : : MRf '"'^ '' \Hk= ^"' ^'' 



Mais cette différentielle eft quadruple de MK ou MQ^ qui 

 eft la différentielle de la corde menée du point yW au 

 point jB, donc la portion DW de la Courbe eft quadruple 

 de cette corde, & par conféquent la Courbe entière eft 

 quadruple du diamètre v^£, & vaut douze fois celui du ; 

 cercle générateur. Donc la longueur de cette Courbe efl 

 à; celle de fa développée comme 3 eft à i. 



