ipo Mémoires de l'Académie Royale 

 même Sedion. Car foit du point Al menée la ligne Aï 

 parallèle à la bafe, coupant le demi -cercle en : Soit 

 B F= 2r, B ^=^v ; donc 0^0 = f^2 rv — vv ; fok 

 l'arc BO = M — z ; donc ^Mz=:.^^ arv — vv-\-z, 



AP = x=c — z — y'7.rv — vv, en nommant la demi- 

 circonférence BOï, c ; &c enfin PM=[0 =:y=2r — v. 

 Si l'on prend maintenant les différences de ces grandeurs 

 pour avoir les valeurs de d x &c de dy , on trouvera, 



I . rf .V = — = — dvy il — - y parce que 



V zrv — vv '" 



dz=— - '' ^ - ; & prenant encore les différences, en 



y ir V — vv 



fuppofant d X confiante, il viendra ^'^'^' —ddv 



V y zrv -^vv 



■ Vll^zZ = o, d'où l'on tire ^^v= "^^^ . 2°.^v = 

 '--dv, donc ddy== — ddv = -^ — îli^l_ • mettant 



'' 1 r v — v V 



donc ces valeurs dans la formule , l'on trouvera M N 

 = 2K — v^= F^z=PM ; c'eft-à-dire que fi l'on prend 

 le rayon réfléchi égal à l'incident , l'on aura tous les points 

 de la Cauftique AN Y. 



Il eft évident que la portion AN de la Cauftique = PM 

 -^ MN = 2 P M, donc la Cauftique entière =2 5F; 

 c'efl-à-dire qu'elle eft double du diamètre du cercle géné- 

 rateur de fa génératrice ; donc elle eft quadruple du dia- 

 mètre de fon cercle générateur. D'où l'on pourroit con- 

 clure qu'elle eft une Cycloïde, ôc qu'elle eft moitié de fa 

 génératrice. 



Maintenant pour avoir l'efpace borné par cette Courbe 

 6c la Cycloïde , foit décrit du centre A' le petit arc AIR 

 qui fera égal à Pp, comme il eft facile de le démontrer : 

 -multipliant donc R M par ■- M N , c'eft-à-dire, dx par 



?^, l'on aurai!l^p^ pour le petit triangle MNm 



qui eft la différentielle de l'efpace AMN , d'où l'on voit 

 que cet efpace eft moidé de l'efpace cycloïdal AP M^ 



