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^onç l'efpace entier AMB¥NA eft moitié du Cycloïdal 

 ABFA: Mais l'efpace Cycloïdal eft triple de fon cercle 

 géne'rateur, donc l'efpace AMBFNA eft au cercle ^éne'- 

 lateur qui a pour diamètre BF comme 5 eft à 2 , auiïi- 

 bien que l'efpace Cauflique ANFA. Donc l'efpace 

 Cauftique eft triple de fon cercle générateur , d'où l'on 

 peut conclure que Ja Courbe qui borne cet efpace eft une 

 Cycloïde. 



Si l'on conçoit quey^A^f fe développe en commençant 

 pr le pomty^, eJle décrira la Courbe ^Hû, dont'oi> 

 demande la longueur & l'efpace qu'elle renferme. 



Soient continués les rayons réfléchis N M, N m, juf- 

 qu'en H, /?; l'on fçait par h namre des développées que 

 les lignes NH, Nh, font perpendiculaires fur la Courbe 

 AFiD, ainfî les kQ.QUTsMNR, HNh, feront femblables • 

 ^oncNM{2r^v).NH{^r^2v):: RM{dx). Hh 

 = 2dx; cequifaitconnoître que cette Courbe eft double 

 de la bafe AF, c'eft-à-dire double de la demi-circonférence 

 B F. 



Pour avoir l'efpace borné par cette Courbe & Ja Cy- 

 cloïde, il n'y a qu'à multiplier Hh'+-MR l ^dx) par 

 iHM(lZ^), il viendra -iLlizii^i^pour la valeur da 

 petit trapèze HMmhqm e^ la différentielle de l'efpace 

 ■ AMHi mais cette différentielle eft triple de celle de 

 1 efpace APM, donc cet efpace eft triple de l'autre, donc 

 cet efpace eft au demi- cercle générateur £0f comme o 

 eft a 2. ■ 



II eft facile de déduire tous les autres rapports que ces 

 efpaces ont entr'eux & avec leurs cercles générateurs. 



Autre Caustique. 



Soit encore la Cycloïde ordinaire ^AfB , dont le fom- Fig iv 

 met foit le pomt A, la bafe BE,6cle demi-cercle gêné- ' 

 rateury^^f ; foient les rayons incidens PM,pm, paral- 

 lèles a la bafe B£^ dont les réfléchis font MN, mN, or 



