Ipi Mémoires de l'Académie Royale 

 demande la longueur du rayon MN, & par conféquent 

 tous les points de la Courbe. 



}\ eft démontré dans la même fe£tion de XAnalyfe des 

 Infiniment petits , que pour avoir tous les points de la 

 Courbe /^ A' F, il falloir toujours prendre le rayon réfléchi 

 égal à l'ordonnée correfpondante dans le cercle généra- 

 teur, ce que l'on trouvera encore en fe fervant de la ïoi- 

 mule 1î:I±£z! . Car foit le diamètre y^£ =2 r, AP=x; 



— zddy 



àonc PQ^ = V2r X — XX i V&tc A £^= ^M = z ; donc 

 'PM = \/2rx — XX-+-Z, & prenant les différences pour 

 avoir dy Sx. dx, on aura i°.dy!= '— lH^— -^.dz; mais 



'dz = -^^; donc dy = '-^:^^=^, Se ddy = ^ "'"^ ^ 



l^irx — XX Virx — xx xVirx — xx 



en prenante AT pour confiante; 6c mettant ces grandeurs 

 dans la formule, on trouvera MN= Vzrx — xx =PQ^. 



Il eft évident que la portion AN de la Courbe = PM 

 -hF^, & que la Courbe entière eft égale à Iabafe5£ 

 plus le demi-diametre du cercle générateur, c'eft-à-dire à 

 la circonférence plus fon demi-diametre, & par conféquent 

 la re£tification de cette Courbe fuppofe celle de la circon- 

 férence du cercle. 



Pour avoir l'efpace borné par cette Courbe & la Cy- 

 cloïde, foit décrit du centre A'' le petit arc MR=Pp=^ dxy 



& multipliant RM{dx) par ~ MN{~^^^^^^—) , l'on aura 



~— — - pour la valeur du petit triangle MNm qui eft 



la différentielle de l'efpace AMN j d'où l'on voit que cet 

 efpace eft moitié du fegment A P ^, &c par conféquent 

 moitié du demi-cercle générateur ; donc l'efpace entier 

 eft à l'efpace Cycloïdal comme i eft à 5, car l'efpace 

 Cycloïdal eft triple du demi-cercle AQE. 



L'on peut conclure en paflTant, que cex efpace eft égal 

 ài'elpace Çauflique dans le cercle. 



Maintenant 



