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Maintenant fi l'on imagine que laCauflique ^A^f fe 



développe en commençant par le point y^, elle décrira la 



Courbe AHD, dont on demande la longueur & l'efpace 



qu'elle renferme. 



Soient prolongés les rayons refléchis A'A/, Nm, jufqu'en 

 H, h, ils feront perpendiculaires fur la Courbe /^//D, l'on 

 dira donc à caufe des fedeurs femblables MNR , HNh, 

 NM{^2rx — XX) . NH{2^2rx — xx-^z) : : MR 

 {dx). Hh =2dx Hh * -- — j d'où l'on voit que la reftifi- 



cation de cette Courbe fuppofe encore celle de la circonfé- 

 rence du cercle. Car l'intégrale du premier membre = 2 :v; 

 & pour avoir celle du fécond, on multipliera haut & bas par 

 r, & l'on aura^ x-^''__. Mais "^"— ^dz, donc 





zrdx xi 



__zdz^ dont l'intégrale ^ -îf. . L'on aura pour 



rV^rx — XX 



h longueur de la portion y^ H, 2/lP-i--~^,j & pour 



A (J'P 



celle de la Courbe entière 2 -^ £ -+- -j^ , c'eft-à-dire 

 qu'elle eft égale à deux fois le diamètre plus la 3 "'^propor- 

 tionnelle au diamètre AE & à la demi-circonférence yiQE. 

 ^Pour avoir l'efpace borné par cette Courbe & la Cy- 

 cloïde , on mukipliera H h -h MR f^dx -i _lii__\ 



^ Vi fx — XX' 



2 I X X X 



par i-HAf( ^'"' J'-^' ^j^ il viendra -f-^Jt*^ 



zzdx ■+- — —~ — pour le petit trapèze H Mm /^; ce 



* y i r X — X X 



qui fait connoître que la mefure de cet efpace fuppofe la 

 quadrature du cercle. Car l'intégrale du premier membre 

 = \A?Qj Pour avoir l'intégrale du fécond zzdx, 

 on le changera en ces trois-ci 2zdx-i-2 xdz — zxdz; 

 mais l'intégrale de 2zdx-h2xdz, eft2xzj& celle de 

 — zxdz, eft quadruple d'un fegment de cercle. Car 

 ^z = — ^__;donc— 2^^^=: ^JUJf- ; donc Ôcc. 



Vzrx — XX \'%rx^xx 



Mém. lyo). B b 



