6i Mémoires DE l'Acade'mie Royale 



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l'on tire zz = aa -i- -lZ — ^ qui eft un lieu à une în- 



mm a '" '"' 



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finité d'autres lignes courbes telles que NIE , dont la qua- 

 drature fert à trouver la longueur des premières Courbes 



Si K=3i, &»j = 2,/7 fera = 5 ; car tous les termes 

 d'un lieu géométrique doivent être d'un même degré , & 

 pour lors l'équanon générale ay'"=^x'' fe changera en 

 celle-ci ayy = x' qui exprime la nature de la féconde 

 parabole cubique , & l'égalité correfpondante deviendra 



2~ = ?-î^-H a a qui eft un lieu à la parabole ordinaire, 

 dont le fommet eft éloigné du point D de —, & le pa- 

 ramètre = — . Or nommant BE,d;&iAEyb; DE fera 



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b — — , & on trouvera par la méthode de la quadrature 

 * Calcul l'n- de la parabole * que la fomme infinie des ^— ^ qui eft égale 



tégral,p. S,^ '^ ^ " , , 



à la longueur de la ligne courbe D M Q^, eft égale à 



zld % 



Si la Courbe DMO^ eft une parabole du premier genre 

 qui ait pour axe D N , l'équation générale le changera en 

 celle-ci ay=:xx , car en ce cas « = i , m= i , èi-p = 2 ^ 

 & fa correfpondante deviendra z2. = 4..vAr -t- aa , d'où 



l'on tire xx^= ~' "" , qui eft un lieu à l'hyperbole , dont 



le centre eft le point D, leparametre=:i^, & l'axe tra- 

 versant :=2a : car par la propriété de l'hyperbole .v x ( les x 

 repréfententici les ordonnées ) xz — a a : : ^a. 2a. 



il eft manifefte que l'on ne peut trouver géométrique- 

 ment Ja longueur de la parabole fans la quadrature de l'hy- 

 perbole j & réciproquement on ne peut trouver la qua- 

 drature de l'hyperbole fans la longueur de la parabole» 



