JTi Hi sToiRE b'B l'Académie RoYAtE 



fera alors dcfcendue au point le plus bas, &: ne pourra 

 cnfuitc que remonter, ce qui fait un rebrouiTement. Or 

 quand la Parabole touche la bafe par fon fommet, il eft 

 évident que la plus petite ligne qu'on puiflc mener du foyer 

 à la circonférence de la Parabole, eft alors perpendicu- 

 laire à la bafe. La même Règle lubiiftera , fi l'on conçoit 

 que le point décrivant devienne infiniment proche de la 

 circonférence de la génératrice, c'eft-à-dirc, foit pris fur 

 cette circonférence. Alors il faudra qu'il foit fur la bafe, 

 afin que la Roulette ayant defcendu remonte, ou réci- 

 proquement , ou en un mot , rebroufle , ce qui eft afîés 

 clair par foi-même. 



De-là M. de la Hire pafle à la re(3:ifîcation &à la qua- 

 drature des Roulettes. Les longueurs des Courbes font 

 toujours des fommcs infinies d'arcs infiniment petits, 6c 

 les fuperficics font des fommes infinies d'efpaces infini- 

 ment petits. Quand ces arcs ou fes efpaces fui vent des pro- 

 greffions dont la nature peut-être connue, & que d'ail- 

 leurs on peut avoir les fommes de ces progreiFions , on a 

 Icslongueurs, ou les fuperficics cherchées. Tout fc réduit 

 là, mais il y a bien des voyes différentes pour y arriver. 

 Celles que prend M. de h Hire font des plus fimples. Il 

 quatre ÔCreftifie d'abord les Epicycloïdes, parce cu'ellcs 

 comprennent les Cycloïdes, lorfque le rayon de leur bafe 

 eft fuppofe' infini , & que par confequent la bafe eft une li- 

 gne droite. Il trouve que l'efpacc de l'Epicycloïdes en gé- 

 néral , eft à celui du Cercle générateur, comme trois fois 

 le rayon delà bafe plus deux fois le rayon du Cercle gé- 

 nérateur eft au rayon de la bafe , d'où il fuit évidemment 

 que i'efpace de la Cycloïde eft triple de celui du Cercle, 

 ge'nerateur 5 car quand l'Epicycloïde devient Cycloïde 

 le rayon du Cercle ge'nerateur qui eft fini difparoît dans 

 cette Analogie. De même la circonférence de l'Epicy- 

 cloïde en gênerai eft à quatre fois le diamètre du Cercle 

 générateur, comme le rayon de labafeplus celui du Cer- 

 cle générateur eft au rayon de la bafe, d'où il fuit que la 

 . circonférence de la Cycloïde eft égaie à quatre fois le diar 



