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les verticales les auront aufli, &: ils n'y feront point répé- 

 tés. Car par la conftruftion dans chaque bande verticale , 

 les nombres y feront toujours les deuziémes de fuite dans 

 ceux de l'ofdre ; & puifque le nombre de l'ordre eft im- 

 pair, il fenfuit que le nombre 2, ne pouvant pas divifer 

 exaftement celui de l'ordre, les fept nombres de l'ordre 

 doivent s'y trouver. 



2°. Maintenant pour ce qui eft des bandes diagonales , 

 a l'on coniidere d'abord celle qui va en defcendant de 

 gauche à droite & qui eft icy 10, 13 , où les nombres 

 de fuite font i o, 9 , 1 1 , &c. on voit que puifque le nombre 

 qui eft immédiatement au-dcilbus d'un autre dans la mê- 

 me bande verticale, eft le fécond après celui qui eft au- 

 deflus, comme 3 au-deflbus de 10 , & que 9 qui eft dans 

 la même horizontale que 3 , fuit immédiatement 3 dans 

 l'ordre propofé , le nombre 9 qui fera au-dcflbus de 10 

 fui vaut la diagonale, fera le troiiîéme après 10 dans l'or- 

 dre propofé. 



Ce fera la même démonftration pour le nombre 1 1 qui 

 fuit 9 ; car le nombre 8 qui eft au-deilous de 9 , eft le fé- 

 cond après 9 dans l'ordre propofé, & le nombre 1 1 y fuit 

 le nombre 8 ; donc le nombre 1 1 fera le troiiîéme après 9. 

 Mais comme ce fera la même choie pour tous les autres , 

 Se que la racine du Quarré propofé eft un nombre non di- 

 vifible par trois, il s'enfuit que tous les nombres de la ban- 

 de diagonaleferont ceux de l'ordre propofé. 



COROLLAIRE 



Four cet Article de la Démonjlration. 



Il s'enfuit de-là que fi la racine propofe'e impaire étoit 

 un multiple de 3 , comme 9 , 15,21 ,&c. les nombres de 

 cette bande reviendroient les mêmes après 3 ,5,7, &c. 

 qui font les quotiensdela diviiîon de la racine par 3 ; & 

 par confequent cette bande feroitfauiîe, à moins que ces 

 nombres 3,5, y^àcc. répétés trois fois dans la bande ne 

 fulTent égaux au tiersdelafomme des nombres de l'ordre. 

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