DES Sciences." isi 



double de la fomme des extrêmes du nombre cjuarré pro- 

 pose. 



. Car ces deux nombres dans chaque bande cppoféc, 

 feront une fomme double du nombre du milieu de la ban- 

 de, ou égale aux extrêmes par le Lemme I. & ces deux 

 nombres du milieu ou ces deux extrêmes , qui fe trouvent 

 dans une bande prife de l'autre fens , feront encore par les 

 mêmes raifons une fomme double de la cellule du milieu , 

 Qu égale aux deux extrêmes : c'eft pourquoi ces quatre 

 nombres pris enfemble dans les deux bandes oppofèes , fe-.' 

 ront le quadruj Je de la cellule du milieu , ou le double 

 des deux extrêmes. 



Comme dans l'exemple propcfé i6^& jo fontic double 

 de 2,8 ; & 95 &: 9 5 le double de 94; & enfin 28 Se 94 le 

 double de 61 ; donc 16 , 50,93,95 font le quadruple de 

 €1 , ou le double de 12.2. , qui eft la fomme des extrêmes 

 du Quarré. Ce fera la même choie pour les Quarrés qui 

 n'ont point de milieu. 



Lemme III. 



Si dans quelque enceinte d'un QLiarré naturel on prend 

 les nombres de deux cellules du milieu , l'une horizontale 

 & l'autre verticale, comme 50 & 60 dans nôtre exemple , 

 ôc celui 73 de l'angle oppofé^ celui qui eft entre les deux 

 nombres qu'on a pris, ces trois nombres feront le triple 

 de la cellule du milieu 61. 



Car à caufe de la progreiîlon Arithmétique on aura 

 t49— I- f 51= îo.&T 49 -4-771 =6-0 : maisauffii 5 1 -f. 

 •j 7 1 = <îi ; donc les trois nombres 5 o — |- 60 — f- 7 j fe rc- 

 duifent à 49—^-73 — |- 61 :mais encore 49— ^■73 ^^«ôi; 

 donc 5 o — J- 60 — j- 73 ;=: 3 » 5i. Ce qu'il falloir prouver, 



Lemme IV. 



Lorfque dans les bandes d'une enceinte du Quarré nat- 



turel , il y a enrre les angles & le milieu un nombre impair 



de cellules ; je dis qued dans unebande on laiffcles angles 



à leur place , & qu'on change la cellule du milieu avec foa 



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