DES Sciences. ^j 



Telle eft h nature du nombre irrationel , ou plutôt peut-être , 

 tel efl le rapport de fa nature à nôtre manière de concevoir, 

 qu'il fuit dans un infini où nous ne pouvons le fuivre. 



11 eft bon de faire ici deux Remarques fur les fuites en 

 général. 



I." II y en a de telles qu'après un certain nombre de ter- 

 mes, tous les autres ttrmes en nombre infini deviennent cha- 

 cun zci o. Alors il e(t évident que la fomme de ces fuites n'efl 

 que finie , & fort aifée à trouver. Elles n'ont qu'une apparence 

 d'infini. 



2.° La même grandeur peut être exprimée par différentes 

 fuites. Elle le fera & par une luite dont la fomme fe peut trou- 

 ver, & par une autre dont la fomme ne fe peut trouver. 



L'impolfibilité où dl l'Arithmétique d'exprimer exade- 

 ment les nombres irrationels, n'efl point pour la Géométrie. 

 Celle-ci les exprime exactement en lignes.Tout le monde fçait, 

 parexempic, que la Diagonale d'un Quarrédont le côté eft r 

 efl la Racine de 2. Cette Diagonale, qui eft une ligne déter- 

 niiiiée , eft la valeur Géométrique exade de cette Racine , il 

 n'a point fallu fe jttter dans des fuites infinies. 



iVlais fur d'autres grandeurs la Géométrie elle-même peut 

 tomber dans le même embarras que l'Arithmétique, car il eft 

 pofTible qu'il y ait telle ligne droite qui ne puifTe être exprimée 

 quepar une fuite infinie de lignes plus petites, & dont la fomme 

 ne fe puiflè trouver. La Géométrie aura donc des grandeurs qui 

 parrimpofTibilitéde l'exprcfTion exade répondront aux nom- 

 bres irrationels de l'Arithmétique. 



Les lignes droites qui feroient égales à des Courbes font fou- 

 vent de ce genre. En cherchant la ligne droite égale à la cir- 

 conférence du Cercle, on trouve que le Diamètre étant r, 

 cette ligne efl ± moins f plus ± moins ± plus ± &c. deforte que 

 c'efl une fuite infinie de fradions, dont le numérateur efl tou- 

 jours 4, & les dénominateurs font la fuite naturelle des nom- 

 bres impairs, & que tous ces termes ont alternativement 

 plus & moins. On ne peut trouver la fomme de cette fuite, 

 qui donnenjit le rapport exad de la circonférence au Diamètre, 



