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Axiomes algebriques !. 
53. — VII. Toute quantité peut être traitée comme étant 
le multiple ou le sous-multiple (entier ou fractionnaire) d’une 
quantité de même espèce. 
1 Ces axiomes tranchent le problème des incommensurables. En tout état 
de cause, qu’elles soient théorèmes ou qu’elles soicnt postulats, les propo- 
sitions sur le rapport des incommensurables sont du ressort de l’algébre 
et non de la géométrie, et celles doivent figurer parmi les axiomes de cette 
dernière science. Voici ce que j'écrivais en 1856 et imprimais en 1859 : 
« La plupart des auteurs ont admis comme axiome le postulat arithmétique 
que le tout est égal à la somme de ses parties. Mais aucun d'eux n'a posé 
ni en axiome ni en postulat que le out peut être considéré comme élant le mul- 
tiple d’une de ses parties. (Suit la démonstration comme quoi les moyens 
par lesquels on croit éviter les incommensurables sont illusoires.) Ce pos- 
tulat, inévitable en algèbre, où les quantités sont, de leur nature, continues, 
l’est aussi en arithmétique : l'équation ‘}, — 0,355... n’est autre chose 
qu’une comparaison entre incommensurables, entre ‘/; et les puissances 
négatives de 10. L’extraction des racines repose sur ce postulat. Vouloir 
extraire la racine de 2 et opérer sur le nombre 2 comme si c'était un carré 
parfait, c’est admettre a priori que tout nombre peut être considéré comme 
un carré, ce qui, encore une fois, est un cas particulier de ce postulat. 
» Dès que l’on admet comme vrai que, quelle que soit la grandeur des 
portions AB et CD d’un quantum isogène, on peut poser AB = mCD, c’est-à- 
dire leur supposer une commune mesure, on peut démontrer immédiatement 
les théorèmes généraux... qui servent à coordonner tous les théorèmes par- 
ticuliers, mesure des angles, plans et dièdres, des parallélogrammes de même 
base, des parallélipipèdes, etc. » (Prolégomènes, pp. 148-155.) 
Depuis que ces lignes ont été écrites, il paraitrait que le problème des 
incommensurables est définitivement résolu. Je ne me suis pas tenu au 
courant de la lillérature. Il ne me coûte rien de faire ingénument cet aveu, 
bien qu’on puisse — trop facilement hélas! — en tirer argument contre moi. 
Toutefois j'ai voulu lire ct j'ai lu et relu le plus attentivement qu'il m'a été 
possible la longue note de Roucué-Comgerousse sur la méthode des limites. 
Je ne suis pas arrivé à la comprendre, ni surtout à comprendre en quoi 
cette méthode est rigoureuse. Or, j'ai toujours pensé qu’une démonstration 
étendue et difficile à suivre d’une vérité, pour ainsi dire, d’intuition, est 
mauvaise. En définitive, il s’agit de “émontrer que deux droites sont entre 
elles comme leurs longueurs, c’est-à-dire comme leurs mesures (25,24et25). 
Eh bien, je demande si, quand elles n’ont pas de commune mesure, elles 
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