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Cor. 1. — Toute quantité peut être traitée comme étant le 
multiple d'une quelconque de ses parties. 
n’ont aucun rapport entre elles, ou si le rapport pourrait être autre que 
celui de leurs mesures. (Voir théorèmes 67 et 72.) Ah! je sais que l’on 
définit ce rapport — qui, notons-le, est invariable — comme étant la limite 
dont se rapproche, aulant que l’on veut, c'est-à-dire à une fraction près 
aussi petite que l’on veut, soit en plus, soit en moins, un rapport indéfini- 
ment variable. Je crains qu’il n’y ait là des mots destinés à masquer et à 
esquiver une difficulté très subtile, mais, à mon sens, plus imaginaire que 
réelle. Une fraction n’est jamais nulle, quelque grand que soit son dénomi- 
nateur. On aura beau diviser indéfiniment en deux parties égales une droite, 
on n’arrivera pas à l’évanouissement de la droite. Bien mieux, en vertu de 
l'homogénéilé de la droite, la plus éloignée des divisions n’a absolument 
rien perdu de sa capacité à être divisée, de sorte que l’accroissement du 
dénominateur n’a qu’un effet illusoire. 
Une considération capitale domine d'ailleurs tout le problème des incom- 
mensurables : c’est que, en pratique, il n’y a pas d’incommensurables. Dans 
chaque cas particulier, on trouvera toujours une commune mesure salis- 
faisante, par exemple, pour la diagonale et le côté d’un carré donné. C’est 
la théorie seule qui nous enseigne qu’elle sera fautive. C’est ainsi que les 
anciens avaient démontré, sans recourir aux limites, que si ces lignes avaient 
une commune mesure, les nombres qui les évalucraient, ne pourraient être 
ni pairs ni impairs, et que, par conséquent, elle n'existe pas. 
Du reste, on peut pousser loin le chapitre des incommensurables. Deux 
droites égales n’auront pas de commune mesure si l’on veut mesurer l’une 
par les puissances négatives de 2, et l’autre par les puissances négatives 
de 5; je veux dire ceci que, si loin qu’on pousse chez l'une la division 
par ?, chez l’autre la division par 5, on n’aboutira jamais à deux quotients 
égaux; et pourtant personne ne contestera que l'équation (4° = (4)" soit 
légitime, bien qu’on ne puisse trouver pour x ct pour y des nombres entiers. 
Enfin, une proportion telle que C:D=c: 4, où les antécédents ct les 
conséquents représentent respectivement des côtés ct des diagonales de 
carré, et qui exprime par conséquent légalité de deux rapports entre incom- 
mensurables, est identique avec la suivante € :c=D:d, qui exprimera 
l'égalité de deux rapports entre commensurables, si, par exemple, C == 2c. 
Mais en voilà à la fois trop et trop peu sur ce sujct étranger à mon tra- 
vail. J'ajoute seulement, puisqu'il n'entre pas dans mon plan de traiter de la 
mesure des surfaces, que, si l’on admet que deux portions de droite sont 
entre elles comme leurs longueurs (théorème 67), il s'ensuit immédiatement 
que deux rectangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases. 
