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Un autre point est à considérer. On se plait à vanter chez 
Euclide l’enchainement rigoureux des propositions, tout en regret- 
tant parfois que l’ordre y laisse quelque peu à désirer. Les géo- 
mètres modernes ont essayé de remédier à ce défaut, mais sans y 
réussir tout à fait. Ils nous font rarement voir la raison du 
groupement des théorèmes, et l'on ne saisit souvent qu'après 
coup pour quel motif ils introduisent au milieu de propositions 
connexes telle autre qui en interrompt la suite naturelle, et qui 
ne vient que comme auxiliaire d’une démonstration. Telle est, 
par exemple, la proposition que si deux triangles ont deux de 
leurs côtés égaux chacun à chacun, l'inégalité des troisièmes côtés 
sera dans le même sens que l'inégalité des angles opposés. Cette 
proposition, qui s'appuie elle-même sur les propriétés de la bis- 
sectrice, ne sert qu'à démontrer l'égalité des triangles qui ont 
leurs trois côtés égaux chacun à chacun. 
Quant à nous, nous pensons qu’un théorème doit, en général 
el autant que possible, se démontrer par les seules données 
impliquées dans son énoncé. C’est ainsi que nous démontrerons 
en manière d'exemple, sans le secours d'aucun théorème anté- 
rieur, sinon de ceux relatifs à l'égalité des triangles, le théorème 
fondamental sur la similitude des triangles. 
Ceux qui voudront bien étudier avec soin et attention la 
manière dont nous avons disposé les théorèmes, verront qu'ils 
ne s'appuient les uns sur les autres qu'en tant qu'ils ont rapport 
au même objet. C'est ainsi que les propositions sur l'égalité des 
triangles forment un groupe qui se tient. Mais ce groupe n'a 
aucun rapport avec celui des propositions sur les distances; et 
même nous nous sommes donné la satisfaction de ne nous servir 
de la propriété de la ligne droite d’être le plus court chemin 
qu'après avoir épuisé les triangles et leur similitude. Chose 
plus méritoire encore, si nous osons parler ainsi de notre œuvre, 
les propositions sur la similitude des triangles viennent avant la 
théorie des parallèles. En un mot, on peut, pour ainsi dire, 
prendre les différents groupes de nos théorèmes ct les brouiller, 
sans que l'enchainement et la rigueur du raisonnement en souf- 
frent le moins du monde. 
