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Inverse. — Toute ligne homogène est une ligne droite. 
Réciproque. — Aucune ligne non droite n’est homogène. 
Dérivée. — Aucune ligne non homogène n'est une ligne 
droite. 
Scolie 1.— Ces quatre propositions, qui se réduisent à deux (49), 
font partie des postulats ou hypothèses de la géométrie. Leur 
légitimité et leur solidité se manifesteront à mesure que les 
conséquences qu'on en tirera se vérifieront théoriquement et 
pratiquement (27). 
Scolie 2. — La ligne droite est une intuition, en d'autres 
termes, elle est vue par l'esprit; ce qui veut dire que c'est l’es- 
prit qui la voit dans les choses et non la vue des choses qui en 
met la notion dans l'esprit. Aussi la plupart des démonstrations 
qui vont suivre se fonderont sur l'intuition et ne feront guère 
que la développer (58, scolie). 
Scolie 3. — La droite est une donnée au mème titre que l'es- 
pace, c’est-à-dire que, pour tracer une ligne droite, il faut une 
ligne droite. 
Cette ligne droite, ou plutôt la portion de droite (62, scolie), 
nécessaire pour tracer une droite, est censée fournie par l'instru- 
ment que l’on nomme règle. De là vient que la géométrie de la 
ligne droite peut s'appeler la géométrie de la règle (38, scolie). 
Lemme. — Toute figure, dès qu'elle est localisée dans l'es- 
pace, est en quelque sorte personnifiée par notre esprit, c'est-à- 
dire que nous lui reconnaissons comme à nous un haut et un 
bas, une droite et une gauche, un avant et un arrière, et nous 
appelons sens contraires où opposés les directions de haut en bas 
et de bas en haut, celles de gauche à droite et de droite à 
gauche, celles d'avant en arrière et d’arrière en avant. 
La ligne droite n'est généralement envisagée que comme 
ayant, soit une gauche et une droite, soit un haut et un bas, sui- 
vant la manière dont nous la supposons localisée dans l'étendue 
par rapport à nous. 
58. Théorème. — La droite est illimitée dans ses deux sens. 
Démonstration. — Car si elle était limitée quelque part, elle 
