(40) 
ne serait pas partout semblable à elle-même. En effet, toute 
partie comprenant sa limite, c'est-à-dire un point de séparation 
entre un néant de droite et la droite, n’a pas la même forme 
que toute partie ne la comprenant pas !. 
59. Théor. — La droite peut glisser sur elle-même dans toute 
son étendue. 
Dém. — La droite, en tant que destinée à glisser sur elle- 
même, peut être envisagée comme une seconde droite placée sur 
une première droite et coïncidant avec celle-ci dans toute son 
étendue, et cela en vertu de la pénétrabilité indéfinie de l’espace 
(56, scolie 5). Or, la droite étant partout semblable à elle-même, 
cette coïncidence aura lieu à chaque instant entre la droite 
envisagée comme mobile et la droite envisagée comme fixe ?. 
60. Déf. — On appelle semi-droite une figure rectilinéaire 
limitée par un point, par conséquent d’un seul côté 5. 
1 Voilà déjà un de ces théorèmes, que j'ai qualifiés plus haut comme 
étant d'apparence puérile, ct dont la démonstration — pourtant si simple — 
ne s’est pas présentée d'elle-même. Il faut bien se pénétrer de ceci que c’est 
la droite, en tant qu’indéfinie et non encore déterminée, qui est homogène, 
et que ni la semi droite (60), ni la portion de droite (62), ni la droite inter- 
rompue (71) ne le sont, bien qu’on puisse y trouver des parties semblables 
autant qu’on veut (67). J'aurais pu dire aussi que, si la droite était limitée 
quelque part, elle devrait l'être partout. Ce serait parfaitement exact, mais 
de forme peut-être un peu cavalière. 
? Ce théorème et sa démonstration peuvent se mettre sans inconvénient 
sous forme de corollaire : La droite peut glisser sur elle-même dans toute son 
étendue puisqu'elle est partout semblable à elle-même. 
5 La semi-droite est une notion nouvelle et pourtant nécessaire si l’on 
tient à mettre une précision et une rigueur absolues dans les définitions et 
les démonstrations géométriques. Un angle est une figure formée — non par 
deux droites (deux droites forment huit angles, si l’on tient compte des 
angles sorlants) — mais par deux semi-droites partant d'un même point. 
Par parenthèse, on voudra bien remarquer que les propositions sur la 
semi-droile peuvent se ranger avant ou après les propositions concernant la 
portion de droite. 
