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Il voudra bien remarquer que j'aborde ce qu’on est convenu 
d'appeler, depuis Legendre, le cinquième livre de la géométrie, 
armé des seuls théorèmes démontrés jusqu'ici, c’est-à-dire sans 
l’aide des parallèles et des triangles, ni des angles dièdres. 
Si je me sers de quelque terme non défini, il n’y a pas à s’en 
formaliser, du moment que le terme est employé dans son sens 
usuel. 
Lemme. — Le plan divise l'espace dans toute son étendue 
(ef. prop. 79). 
Théorème 1. — Lorsque deux plans ont une droite commune, 
ils se coupent, c'est-à-dire que chacun d’eux est situé des deux 
côtés de l'autre (cf. 104). 
Dém. — Soient (fig. 19) deux plans P et Q, ayant en commun 
la droite XX’. Je dis que ces deux plans ne 
peuvent pas avoir la position indiquée dans la 
figure, c'est-à-dire telle qu'ils seraient tangents 
le long de la droite XX’, mais qu’ils se coupent 
comme la même figure peut aussi l'indiquer, 
pourvu qu'on se représente les surfaces MM' et 
NN’ comme des plans s'entrecoupant le long 
de la droite XX’. 
Fig. 49. Dém. — Par un point quelconque X de la 
droite XX’, je mène deux droites, l’une XY 
dans le plan P, l’autre XZ dans le plan Q. Les deux droites, 
ayant un point commun, sont dans le même plan, donc elles se 
coupent (104); elles prennent donc les positions YZ’ et ZY’, et 
non pas les positions YY' et ZZ’, et, par conséquent, chacune 
d'elles passe à l’autre côté du plan qu’elle rencontre. 
Comme ce qui vient d'être dit des droites XY et XZ peut se 
dire de toutes autres droites, telles que X’M et X’N, on peut 
trouver dans le plan P autant de points que l’on veut situés à 
l'autre côté du plan Q, et réciproquement. 
Donc ces deux plans se coupent. C. Q. F. D. 
Théorème 11. — Lorsqu'une droite rencontre un plan dans 
lequel elle n’est pas située, elle le perce. 
Dém. — Soit O (fig. 20) le point où la droite X rencontre le 
